Re: [請益] 想跟請教幾題數學競試的題目

[OD1109 (強棒高手)]

※ 引述《holsety ()》之銘言：
: 話說今天有小鬼拿出一份測驗卷,
: 上頭寫著大大的幾個字"第二十八屆全國奧林匹克數學競賽試題"   (心中os:囧了)
: 我一看,一些題目沒辦法馬上解出來,就跟學生說先講幾題,剩的過兩天再給他
: (我直接說有的我真的不會= =)
: 回家仔細算過之後,發現就算我已經找到解答,但我還是不會算= =
: 於是小弟我就想上來討個救命,還請板上名師能略微指點一下,感恩~
: 1.
: 電視節目「超級選秀大道」，每週五晚上10 點播出，不考慮重播時間，已
: 知這個節目全年不休息，那麼一年內最多有幾個月可以看到5次「超級選
: 秀大道」？
: 答案:5個月
: 想法:這題的意思應該就是"一年之中,一個月有5個星期五的月份,最多有幾個月?"
:      於是我拿出2009年的月曆,有4個月份的星期五有5天(1,5,7,10月)
:      2009年是平年365天.
:      若2009年是潤年366天,則3月之後的"星期幾"會往後一天(3/1是星期日會變星期一)
:      然後4月份的星期五就會變成5天
:      但這只是拿2009年的月曆去推出來的,更何況2009年只是平年
:      不曉得這題的算式該怎麼寫?

      一年365天   最多366天    365/7=52....1    最多有53個周日
      53=4*x+5*y   x.y為整數解    y最大值5

: 2.
: http://0rz.tw/7OboF
: 右圖正方形邊上的 都是等分點，請問灰色部分占
: 正方形面積的幾分之幾？
: 答案:13分之1
: 想法:圖中的A圖為題目,我覺得中間的灰色部分,其實是由兩個平行四邊形重疊部分
:      我把兩個平行四邊行擺正並推到邊邊,其重疊部份的面積相同(即b圖)
:      如此得到灰色面積為正方形的9分之1,跟答案不一樣
:      我的想法是哪邊錯了嗎?
: 3.
: http://0rz.tw/TRzwu
:           __   __   __  __   __  __   __
: △ABC 中，AC = BC = AD，BD = DE，AE = BE，求∠CAE＝？
: 答案:36度
: 想法:__   __  __   __     __   __
:      BC = AD  BD = DE =>  AE = CD
:      然後...我就不會了= =(倒地)
:      總之這題就是一個大等腰三角形,裡面包幾個小的等腰三角形

      使用外角定理解題
      http://winmath.myweb.hinet.net/33333.JPG

: 4.
: 從20 到200中，至少要取出幾個不同的數，才能保證其中一定有一個數是7 的倍數？
: 答案:156個
: 想法:20~200之中,共有181個數,其中為7的倍數為 7的3倍~7的28倍,共有26個數
:      181 - 26 = 155   那156怎麼來的?
:      感覺我是題目看不懂,
:      那個"取出幾個不同的數" , 是取出的這些數之中,一定有7的倍數.
:                               還是說把這些數取出來,剩下的數一定有7的倍數

        應該是拿出幾個後   剩下皆為7的倍數
        把7的倍數找出來   有26個   不是7的有155個
        所以在很倒楣的情況下   第156才會有7的倍數產生

: 5.
: 在1~3098 這3098 個整數中，最多能夠取出幾個數，使得其中任意兩個數
: 的和一定能被80 整除？
: 答案:39個
: 想法:一樣是題目有點看不懂,是取出的數之中,任意兩數的和必能被8整除
:                           還是取出n個數後,剩下的數之中,任取兩數和必能被8整除
:      先從題目中的數字來看,在1~3098之中,為80的倍數有 80的1倍~80的38倍,共38個
:      那39又是怎麼來的?
: 嗯.....不好意思了,一來就問這些奇怪的題目
: 解不出來漏氣是小事啦~頂多被小鬼笑虧兩下,過兩天他們就忘了
: 但我對這樣的題目還滿有興趣的,也想知道該怎麼算
: 這個奧林匹克數學試題好像分成2節考,我拿到這份是第二節的試題
: 以一個老師的立場,15題槓了5題好像滿糟的= =

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◆ From: 125.224.214.127
推 holsety:嗯....原來第3題我搞錯方向了= =現在這樣看一目了然
→ holsety:第4題也懂了,果然是看不懂題目= = 感謝OD1109老師
推 holsety:不過第一題的53個週日...為何要這樣寫@@?
推 pickapicka:53週=4(每月4週)*x(出現x次)+5(每月5週)*y(出現y次)
→ pickapicka:你的問題在這嗎?還是週日/五的問題?那應該只是筆誤.
推 holsety:所以要找出有5個星期五的月份,就是找出有5週的月份?
→ pickapicka:用白話文講就是.五個星期的月份出現x次.總共有5x週
→ pickapicka:寫錯...重來
→ pickapicka:4個星期的月份出現x次.共4*x週....5個星期的月份出現
→ pickapicka:y次.共5y週...所以4x+5y=53.然後找整數解...就降
推 eyun:53-4*12=53-48=5  這樣比較快
→ eyun:一個月至少4個星期日 把多出來的分別分到其他的月份
推 holsety:嗯....好像有點了解了,我用我的說法說說看@@這樣對不對?
→ holsety:一年最多會有53個星期5,但假設1個月都只有4個星期5
→ holsety:結果還有5個星期五沒放進去
→ holsety:把這5個星期五平均補進去,會有5個月從4個星期五變成5個
推 eyun:嗯 沒錯
推 pickapicka:嗯嗯....廳的懂.....
推 e04dragon:X=2 Y=9  這組解不合嗎? 這樣Y最大值就變9了耶? XD
→ holsety:呼~總算解決第一題了,感謝各位老師相助<(_ _)>
→ OD1109:2+9好像不是12個月
推 e04dragon:對齁~  XD  對不起我耍笨...忘了X+Y=12  哈哈哈