Re: [閒聊] 日本中學生數學這麼難的嗎？

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: : 推 CATALYST0001: substitution高中有教吧？還是那是我以前補習班才    03/06 23:39
: : 沒有。我只在很舊的高職工程數學上看過。
: : → CATALYST0001: 有學到？反而是ln 跟e不曉得為什麼不教              03/06 23:39
: : 我也覺得該教，但實際上一教下去就會牽出一大串東西。
: : 最舒適的流程應該是用積分定義 ln，證明他滿足對數律就可以說明他是一種 log。
: : 然後帶出他的底數 e，定下自然對數底這個稱呼。
: : 畢竟常用的兩個極限定義都……很奇怪啊。
: : (1+1/n)^n 還可以用複利，Σ1/n! 要從無窮級數的積下手來談吔。
: 只是要教 (1) e 常數的定義 和 (2) 對應的指數函數不難啦
: 問題在教了要幹嘛？
: 教會學生怎麼對 1/x 積分？
:         x
: ln x = ∫du/u 這個定義是證明起來方便，但動機看起來超奇怪
:         1
: 你沒事定義一個這樣的函數幹嘛？打手槍？
: 比較易懂的做法是
: 1. 定義常數 e
: 2. 定義 lnx 為指數函數的 e^x (簡單的說就只是某個特別的對數函數)
: 3. 透過反函數的微分性質去得出對 lnx 微分會得到 1/x
: 但第三步會得要先得到 「對e^x微分會等於e^x」
: 這實際上也才是為什麼 e 重要
: 但是啊，你怎麼突然會關心起「微分變成自己的東西」？
: 這答案很標準，就是微分方程，比如 y'(x) = ay(x)
: 微方可以說是人類科學發展過程中數一數二重要的里程碑
: 不過我們高中教育從來沒有想要把微方的概念代入教材裡面
: 而如果跳過這些，純粹就告訴學生「幹 別管有啥用，給我全部接受、算就對了」
: 這很容易造就一堆覺得莫名其妙、然後什麼都沒學會的學生

先教積分在教微分的方法多見於一些數學系才會用的教材，其便利之處在於處理積分比

處理微分更容易。所有數學系畢業的人都知道Lebesgue定理，但是知道絕對連續隱含微分

幾乎處處存在且微積分基本定理成立的人是為數不多的存在。在指對數函數這邊會寫出

的事情是，用1/x的定積分定義log(x)讓你直接得到log和其反函數都無窮可微，但是先寫

出指數函數時你必須要了解他是一個連續甚至可微的函數，那就得動手算一些極限，衍生

出是要算下去讓課堂變無聊還是要跳過去讓學生變得迷惑的兩難。


另一方面，你寫出的微分方程固然可以用瞪出一個解和存在唯一定理解，但是其正規解法

難道不是分離變數後變成a/y對y積分並取反函數嗎？這也給出一個為什麼要會算這個積分

的敘事。在純數學裡，1/x的積分是重要的積分，log函數也是偉大的函數。用途和趣味性

不見得會輸給指數函數，只是生不出剛學微積分的人能理解的動機而已。

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(如果你是一座島的島主 那這座島上最重要的守則是什麼?)

"每位滿20歲的國民都要會Galois theory"

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 78.94.133.138 (德國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1678131026.A.354.html
推 zax8419: 這個很有說服力 不過你瞪出解的程度不是一般人能做到的阿
推 xanxus27: 我大學修過後就不想碰了 請不要喚醒我記憶(頭痛
推 aarzbrv: 看到幾乎實在心癢癢很想知道例外的函數的密度（嘖嘖）…
推 aarzbrv: （先教積分也是為延後無窮大小這個教師債務吧？XD）
推 dzwei: 正規的教法是 極限-連續-微分-微積分基本定理-積分，然後是
→ dzwei: partal 微分，多重積分，這樣差不多就理工類兩學期了，剩下
→ dzwei: 的丟給工數。其實微積分這種拋棄舊的數學思想蠻好玩的
推 aarzbrv: 忘了以前哪篇心得文看過美國好像有大學是要求教師避開以
→ aarzbrv: (ε, δ)定義函數的極限，如果遇到上位者如此要求的話，
→ aarzbrv: 該怎麼辦呢？還是先岔題幾個小時教非標準分析（哭哭）？
Stewart大概是說
你看 f(2.01), f(2.001),...這串數字有沒有好像趨近一個數？有齁？有的話就說
lim x-->2 f(x) = 那個數 。
我們來算幾個例子。 |x|很小的時候sin(x)/x難道沒有很接近1嗎？沒錯！它的極限就是1
然後開始算很多limit，然後再告訴你定義。
我不知道台大怎麼教，我希望沒有TA遇到有人問為什麼x/x在0的極限不是不存在。
※ 編輯: cmrafsts (78.94.133.138 德國), 03/07/2023 05:11:43
→ iampig951753: 推 有人不知道這位是 數學卷哥
推 aarzbrv: 感謝作者喚起了以前某些高中老師會舉的直觀例子，但看了
→ aarzbrv: https://gyo.tc/1XCyI https://gyo.tc/1XCyG 恐怕對高中
→ aarzbrv: 沒碰過作者所舉的例子的大一學生相當緊湊呢……
推 aarzbrv: （可能某些人第一次淺嚐微分是在高中物理的運動學吧）
推 aarzbrv: https://gyo.tc/1XD3L 左網址像是十二年國教銜接普通高中
→ aarzbrv: 課綱的最近版本吧……
推 Vulpix: 我不是說先教積分……是教了積分以後才開始介紹e啦>"<
→ Vulpix: 內容扎實的微積分課綱很緊湊，所以微積分其實是無論如何都
→ aarzbrv: 回樓上：（@@双眼亮度皆為一千流明）
→ Vulpix: 得在高中先教。覺得應該放e是因為一級反應、衰變和常態分
→ chualex66: 推數學，看到第一行就昏了
→ Vulpix: 佈。總之幫學生補一下洞吧。不然對e的理解停在「一個約
→ Vulpix: 2.71828的數字」實在很沒fu。
推 Vulpix: 然後簽名檔會不會太狠？Galois 21歲就掛掉了吧？
→ aarzbrv: （樓上突破盲腸XD）
推 Vulpix: 還有阿瑞尼士方程，甚至波茲曼分佈。高中ln的應用應該是
→ Vulpix: 能斯特方程式吧。
推 aarzbrv: 以前學習自然對數的底數遇到很多老師都是先從無限期數的
→ aarzbrv: 複利收斂值切入，如果換成自己教別人，不容易想像如何先
推 Vulpix: 連續複利跟(1+x/n)^n很搭啊。
→ aarzbrv: 教積分再教自然對數的底數……
→ aarzbrv: （在下以上的「教」，主要針對許多沒預設動機的同學）
推 Vulpix: 在講x^n的積分的時候，強調一下n不能是-1。就能勾起想唱反
→ Vulpix: 調的人的表面動機了。
推 rey123123: 我應用數學系畢業.. 我好爛