保底如何影響抽卡體驗 以FGO 公主連結 原神為例

[siscon (e-diot)]

文章內使用簡寫
FGO = Fate/Grand Order
PC = 公主連結
GI = 原神
代表了三種不同的抽卡機率模型
分別是無保底 第n抽保底 線性保底

以下將探討
(一)抽到最高稀有度的情況
(二)抽當期加倍角(pick-up, PU)的情況
之所以分開討論是因為 原神的PU角規則比較複雜


(一)最高稀有度的情況
FGO的五星1%
PC的三星2.5%
GI的五星0.6%

1.按下第n發中獎的機率p

(1)FGO
p = 1%

(2)公主連結
1~299抽p = 2.5%
300抽p = 100%

(3)原神
使用目前較有說服力的機率模型[1]
與超過12萬筆抽卡記錄的數據集[2]有相似結果

https://i.imgur.com/zVrNJ0I.jpg

1~73抽p = 0.6%
74抽開始每抽機率上升6%直到89抽
90抽p = 1

https://i.imgur.com/d5Dj6KD.png

2.在第k發中獎的機率n
要求前(k-1)發失敗 然後第k發抽中
為什麼要算這個?
可以拿來算期望值幾抽出一隻
知道每個人花了幾抽抽中的分佈情況
相當於抽卡的使用者體驗
也能拿來算手上有k抽的時候有多少機率能抽中

https://i.imgur.com/SRHSRqN.png

可以看到公主連結把300抽之後的中獎率拉到第300抽
而原神把75抽之後的中獎率都拉到75~80抽左右


3.k抽內中獎的機率c 方便迅速查表
也能看成 抽了k抽的人有多少比例的人中獎
相當於把n從1到k加總(累積分布函數CDF)
用這個就能定義歐洲人/非洲人

https://i.imgur.com/mADGoIG.png

可以看到FGO跟公主連結幾乎一樣
300抽保底對2.5%來說幾乎沒影響

4.定義歐洲人/非洲人
使用常態分佈的68-95-99.7法則

https://i.imgur.com/5s7ezbp.png

歐神 歐皇 歐洲 普通 非州 非酋 衰鬼
 0.15% | 2.35% | 13.5% | 68% | 13.5% | 2.35% | 0.15%
      3σ     2σ     1σ   1σ     2σ     3σ
     0.15%    2.5%    16%   84%    97.5%   99.85%
每666人有一個歐神一個衰鬼
每40人有一個歐皇一個非酋
每6.25人有一個歐洲一個非洲
每3人有2個普通人
越左邊越歐

https://i.imgur.com/kqQ0Xz8.png

除以一隻五星的期望值抽數
橫軸為「幾個期望值」
可以想成每抽一隻五星要花多少隻五星的石頭量分佈
期望值
FGO = 99.96抽
公主連結 = 39.98抽
原神 = 62.30抽

https://i.imgur.com/8FDdQyr.png

可以看到
FGO跟公主連結長很像

而原神相較之下大部分的人需要抽超過期望值
非州人跟一般人沒什麼差距
歐洲人的抽數區間比非洲人廣

乘以一抽的價錢 以新台幣為單位
這邊用的數據是
FGO台服: NTD 2390 = 167石, 30石 = 11抽
公主連結台服: NTD 2390 = 7500石, 150石 = 1抽
原神亞洲服: NTD 3290 = 8080石, 160石 = 1抽
課金有各種額度比值難以計算，因此僅供參考

https://i.imgur.com/8jwllue.png

(二)當期加倍角(PU)的情況

1.按下第n發中獎的機率p

(1)FGO
p = 0.8%

(2)公主連結
1~299抽p = 0.7%
300抽p = 100%

(3)原神
先用五星機率判斷有沒有抽到五星
抽到五星的瞬間有50%PU五星 50%其他五星
如果沒中PU 則下次抽到的五星必為PU

這邊的p需要條件判斷所以無法算出來
但可以算出n

https://i.imgur.com/6v4Abga.png

2.在第k發中獎的機率n
其中50%抽到PU的機率 就是(一)2.的機率nPU
問題在於剩下50%沒抽到PU的機率nOther
會從零重算五星保底的機率
因為下個五星必PU
nOther其實就是連抽兩個五星的機率
nOther = nPU跟nPU做convolution

簡單的解釋:
第二抽抽中2五星
第一個五星跟第二個五星的抽數是(1,1)
    12345
54321
第三抽抽中2五星
一跟二的抽數可以是(1,2),(2,1)
   12345
54321
第四抽抽中2五星
一跟二花的抽數可以是(1,3),(2,2),(3,1)
  12345
54321
可以看出來這動作就是一個convolution

原神實際上的n 等於50%的nPU跟50%的nOther加起來
接下來問題就很簡單了

https://i.imgur.com/HkpJuUp.png

可以看到原神大部分中獎集中在70~80以及140~160
第一個峰是50%PU出
而第二個峰是50%PU沒出 因此要到第二個五星保底才出

3.在前k抽中獎的機率c

https://i.imgur.com/iCEUwAE.png

可以看到公主連結的300抽保底在PU的效果比三星明顯很多
因為PU機率比三星機率低很多(0.7%/2.5%)

4.歐洲人/非洲人

https://i.imgur.com/WVstjoQ.png

除以一隻五星的期望值抽數
期望值
FGO = 124.68抽
公主連結 = 125.49抽
原神 = 93.45抽

https://i.imgur.com/clLTZvT.png

可以看到FGO跟公主連結在50%以下幾乎一樣
但公主連結在非州人的區間則大幅縮減範圍
尤其是把原本越非的區間越寬的問題解決了
(非州區間寬代表 明明同是非州人 差別卻很大)
原神的PU跟純五星相比
抽PU比較多人不用花到期望值的抽數
非州人的區間被極端壓縮
沒有人受傷的世界就誕生了

乘以一抽的價錢 以新台幣為單位

https://i.imgur.com/t2zatHy.png

參考資料
[1]原神五星機率模型
https://bbs.nga.cn/read.php?tid=25011594
[2]原神抽卡數據集
https://github.com/OneBST/GI_gacha_dataset

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.19.246 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1615138093.A.D2F.html
→ hellwize: 這裡是西
推 sssyoyo:        螺
推 p2p8ppp:        大
推 FCPo011674: 谷
→ lexmrkz32: 湯
→ kopune: 婆
都做了順便貼一下
https://i.imgur.com/QWeKpu2.png
https://i.imgur.com/P7PI0pK.png
https://i.imgur.com/Ak5f9BS.png
※ 編輯: siscon (61.230.19.246 臺灣), 03/08/2021 01:59:06
→ AMDMARSHAL: 看來我也沒這麼倒楣 原神都10~75抽出金 UP也沒歪幾次
推 ren740719: 跪
推 Mjts33: 公連日版三星機率已經變成3%了
推 prudence: 等你菲過就知道自己之前多歐了 XD
噓 zack730: 原神
→ ttisatalent: 公連幾%意義不大 up率寫死的 哪怕是fes
推 iwinlottery: 原來我非酋都沒有
推 anpinjou: 大大好心也做一些其他遊戲吧  比如馬娘
可能要等我研究他抽卡機制
或是有沒有好心人講一下
推 shiaoyao: 專業給推
推 Gwaewluin: 我只知道我都抽不到（崩潰）
推 FCPo011674: 公連有少數池pick up會變1.4%，不是完全寫死的
推 peterisme17: 公連第300抽的機率還是2.5%啊,只是會額外送你一隻
→ peterisme17: 不知道你有沒有算到這個
我只算抽出第一隻五星 第二隻後面不管
所以第300抽雖然有可能2.5%中三星再多送一隻保底 但就是當"抽中"
推 Delicious12: 專業 推
推 unlimit999: 原神一單是八千多石頭，原PO這價錢有誤
推 ASEVE: 推 專業
→ jacvky: 原神不算第一次的優惠，一單一律是8080石
已修正 謝謝告知
被發現從來被課過首儲雙倍惹
說明一下 首儲NTD 3290 = 6480*2石
接下來NTD 3290 = (6480+1600)石 = 8080石
※ 編輯: siscon (61.230.19.246 臺灣), 03/08/2021 12:36:38
推 jack8587: 推
推 wu5834: 可以問一下留言區那三張圖是什麼含意嗎，看不太懂@@“
推 shinobunodok: 不用算了 這三個找一個最雷的就是那個沒保底的
→ siscon: 第幾抽抽到五星(公主連結三星)的時候的運氣值如何
→ siscon: 如果想知道手上準備k抽有多少機率能中 請參考CDF那張表
推 d9123155: 我跪了
推 abadjoke: 大學時期的惡夢XD  不過推一個