Re: [閒聊] 期望值相同下，有天井沒天井選哪個？

[dodomilk (豆豆奶)]

我雖然退坑FGO已久，但覺得這問題應該沒那麼難回答才對。剛好來騙點P幣
※ 引述《HeterCompute (異質運算)》之銘言：
: 因為沒在玩手遊，所以好奇手遊玩家怎麼想的，
: 假設以剛才那篇FGX遊戲舉例，
: 1.原來遊戲設置，沒天井
: 2.略調低抽中機率，但設置天井，使得期望值相同
: 請問大家會選擇1還是2？還是如果期望值相同就沒差？

先說結論，因為多數人傾向風險趨避，

所以在期望值相同的情況下，多數人會選擇有天井。

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這裡先定義清楚問題。

情況1：抽到SSR機率是2%，抽100次。設抽到SSR的次數為隨機變數"X"。

       X是 n=100, p=0.02 的二項分配。

       故 期望值E(X) = np = 2

          變異數V(X) = np(1-p) = 100*0.02*0.98 = 1.96


情況2：抽到SSR機率是1.01%，抽99次。
       再抽第100次，100%是SSR，但不能自選。

       設抽到SSR的次數為隨機變數"Y"。
       這裡可令Y = A + 1，其中隨機變數"A"是前99次中，抽到SSR的次數。

       A是 n=99, p=0.0101的二項分配。

       故 期望值E(Y) = E(A+1) = E(A)+1 = np = 1 + 1 = 2

          變異數V(Y) = V(A+1) = V(A) = np(1-p) = 99*0.0101*0.9899 = 0.9898


情況1         情況2
V(X) = 1.96 > V(Y) = 0.9898

期望值相同的情況下，
如果你是風險趨避者，顯然會選擇變異數比較小的情況2(有保底)。

當然如果你是風險喜好者的話，可能就會選擇無保底的情況1了。

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推 roger2623900: 我是會選1 首先長時間抽下來抽數會變大以變異數來
→ roger2623900: 看兩種抽法會趨近一樣 其次你不會每次都抽到井 所
→ roger2623900: 以長時間抽下來2期望值會比1低一點
我大概懂你的意思，不過變異數是不會變的。
只是最後結果和期望值的差距在比例上會越來越小。
所以感覺上抽越多次，結果會越接近期望值。

至於會不會抽到井，這個就看個人啦。
我自己的話，如果有井我一定是抽到井。
(我玩的遊戲大都是那種不管前面有沒有抽到，到一定數目後一定有井的)
→ wcp59478: 沒痛過的選1 痛過的選2
完全正確，痛過之後就只想選有保底的抽。
推 Litfal: 不能自選的天井根本就不算天井
→ crasser: 通常會有一個問題就是,你知道的機率是不是真的機率...
推 farseer7: 知道的機率不是真的機率那根本就不需要討論了啊
是啊，如果不是真的機率那就不用討論了。
→ LeonBolton: 因為業界發生不只一起官方偷改資料....
推 ratom0315: 二項分配下的抽樣，樣本觀察值越多，樣本平均的抽樣分
→ ratom0315: 配會接近常態，也能越接近母體平均，所以如果總抽數越
→ ratom0315: 多，變異數應該越小？
呃，前半對了，後面不對。
二項分配下樣本平均會越來越接近母體平均沒錯(中央極限定理)
不過這個"接近"是指比例上的接近。

假設X是二項分配B(n,p)，母體期望值E(X)=np，母體變異數V(X)=np(1-p)
那麼樣本平均x¯會是一個常態分配N(np,p(1-p))

可以看到當n越大時，期望值np也會跟著增加(抽越多次，平均會抽到越多SSR)
不過n越大時，變異數p(1-p)不會跟著增加。

可以想成是n越大時，整個分配曲線往右平移，但不會改變分配曲線的陡峭程度。
但因為n越大時，相較於期望值np，變異數p(1-p)感覺上會相對變小。
所以我們會感覺變異數好像有變小，但實際上並沒有。

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我想你可能和p的估計值p^搞混了。(上面算的是抽到SSR的次數"X"的期望值)

如果你用抽轉蛋的結果去回推抽到SSR的次數(抽到SSR的次數/總共抽了多少次=p^)

那麼p的估計值p^會是一個常態分配N(p,p(1-p)/n)

這裡p^的變異數V(p^)就會隨著n的增加而減少了。

簡單來說，就是你抽越多次，抽到SSR的機率會越趨近於期望值。

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抽到SSR的次數"X"，其變異數V(X)不會隨著抽的次數n而改變。

抽到SSR的機率的估計值"p^"，其變異數V(p^)會隨著抽的次數n的增加而減小。
※ 編輯: dodomilk (1.161.121.136 臺灣), 08/09/2021 16:11:15