Re: [閒聊] 虛數之海是啥??

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《dodomilk (豆豆奶)》之銘言：

這篇好像已經很詳盡了，來隨便寫一些東西好了。

在很久以前，人們認為x^2這種表達法一定是表達某個面積，因此，x^2不能是負的，因為
沒有這樣的面積。然而，數學的發展使得人們必須引入虛數，例如在三次方程的卡丹公式
解中必須計算虛數。

當時的背景其實也只有考慮實數解而已。但某些係數的選擇會使在三次方程公式解中必須
要考慮負數的平方根，並且在適當的運算規則下，最後會得出實數解。儘管很不高興，人
們必須承認虛數的用處。

然而虛數並不imaginary。cf.高斯平面（複數平面）。

在推文中提到的關於直線的定義問題可以用intrinsic geometry解釋。一般來說，我們會
考慮一個流形(以下稱manifold)，並考慮上面的測量長度方式(metric tensor)。在這樣的
設定下就可以定義測地線，與各種幾何概念。測地線簡單的說，就是一個生活在這個manif
old上的螞蟻會感受到的直線。螞蟻比人類厲害多了。

如果我們考慮R^3空間中的2-fold，R^3中的metric tensor自然地給出其上的一種metric
tensor，並且可以用最原始的定義開始定義高斯曲率。如果一開始我們考慮的是一個
2-fold with given metric tensor，則所有使它嵌進R^3中並保持metric tensor的方法
會給出一樣的高斯曲率。也就是說，儘管高斯曲率的原始定義與嵌法有關，經過精妙的
計算後會發現只與metric tensor有關。這就是高斯絕妙定理Theorema Egregium。

Remark:我覺得高斯可能覺得他的quadratic reciprocity law比較絕妙。

所以後續提到的Poincare disk其實並不是一個這樣的好的鑲嵌，但是這是一個容易計算的
模型。另一個模型是數論中的寶地，H = Poincare upper half plane，metric tensor為

                          ds^2 = ( dx^2 + dy^2) / y^2.

測地線全部都是垂直邊界的圓弧。這個metric tensor給出volume form

                                du = dxdy/y^2.

這個volume form 在H的自同構群PSL_2(R)作用下不變。mobius transform自然地給出
H=SL_2(R)/SO_2(R)，du就是left invariant quotient measure。


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Chinese Remainder Theorem

中國唯一剩餘的定理

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.150.108.23
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推 staristic: 幹，以為走錯板
推 nahsnib: 無上定理保證了想要完美地在紙上繪製地圖是做不到的喔
推 kaj1983: 咒文^2
推 arrenwu: 老兄 你一篇文章裡面一堆不平常的定義 是要寫給誰看啊
我錯了，但我覺得到高斯絕妙定理之前還算平常    吧？
推 Getbackers: 為什麼每個字都認識，但完全不知道在講什麼？
推 smes95303: 語言的博大精深  分開看看得懂  組合一下就看不懂了
→ fragmentwing: 瞬間變成數學板
※ 編輯: cmrafsts (118.150.108.23), 12/20/2018 13:38:10
※ 編輯: cmrafsts (118.150.108.23), 12/20/2018 13:38:47
推 pinqooo: 完....完全看不懂
推 Ben40: 好久沒碰這個頭好痛
推 KWBilly: 你不要拿數學系的習慣（敘述中文名詞英文）來c洽發文拉><
→ jason60314: 跟我想的....一樣，說的真好
噓 hellwize: 這裡是西
推 dodomilk: 哦哦，有數學系的回文了嗎XD 要不是我正好在看這本書，
→ dodomilk: 也不會看得懂這篇內容XDD
推 KWBilly: 另外原篇把龐加萊圓盤寫成球殼投影很怪吧
這個    不好説不好説ＸＤ不過有個低維度的情況可以參考（個頭），就是
CP^2上的非退化二次代數曲線都isomorphic。
推 dodomilk: 果然是念數學的，對長度定義的說明嚴謹多了
推 xavier13540: 推螞蟻比人厲害多了這句
肥皂泡也是ＱＱ
推 qd6590: 對對對 沒錯就是這樣
推 aegisWIsL: 嗯嗯 跟我想得差不多
推 tim32142000: 數學系的東西真是比高中數學深好多好多
→ surimodo: 嗯嗯 看不懂
推 OSDim: 兄D可以講人話麻==
推 bomda: 嗯嗯 我沒進錯板
推 timgame: 恩恩
→ WindSpread: 陳獨秀同學...
※ 編輯: cmrafsts (118.150.108.23), 12/20/2018 13:59:18
推 leo42054205: 對對對 我印象中也是這樣
推 a21802: 3次方根的公式很神奇 結論是可以繞過虛數w
竟然有這種事！？
※ 編輯: cmrafsts (118.150.108.23), 12/20/2018 14:05:59
推 kinghtt: 現在是肩膀上有花的都進來了？
推 js850604: 我看到一堆英文名詞就炸了
→ shifa: 我老實承認我看不懂
推 Sinreigensou: 嗯嗯好哦
推 Giornno: https://imgur.com/ddrRkXv
→ s31364663: 推阿
→ UXIUJIL: 說啥呢
推 opeminbod001: 推樓樓上 師爺 你給翻譯翻譯 什麼叫他媽的_____
推 jonhson10: 西恰學數學
推 VttONE: 嗯嗯 跟我想得差不多
推 bluelamb: 從第二段中間開始我就沒看懂了
推 zseineo: 這篇太深了啦XDD 一般人看不懂
推 alpho: 阿鬼你還是說中文吧
推 cheng31507: 嗯嗯 跟我想的差不多
推 jnaqhae: 嗯嗯 跟我想得差不多