Re: [閒聊] 數學女孩 龐加萊猜想

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《dodomilk (豆豆奶)》之銘言：
: （雙曲面大概長這樣 https://imgur.com/jXA9clw.jpg）
: 這代表，我們可以把歐幾里得平面（也就是一般的平面）看成半徑無限大的球面，
: 而雙曲面則是半徑為虛數的球面。
: 推論過程請再回去參考那篇文章，或者直接買下這本數學女孩：龐加萊猜想來看吧！
: 當然，這推論有87%是牽強附會，請不要拿去和數學背景的人講，會被電很慘XDDD

不知道為什麼你要這樣堅持0.0雙曲面又沒有constant Gaussian curvature

: 由維基，龐加萊猜想是：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。
: 稍微試著解釋看看好了。
: 首先是流形。一條線段就是一維流形，可以是直的、是彎的。
: 前面提到的球面、雙曲面、歐幾里得平面就是二維流形。
: 三維流形比較難理解，
: 它是三維的，卻又不囿限於三維空間中，而是可以鑲嵌於四維空間。
: 如果說二維球面（二維流形）是由許多一維球面（圓，一維流形）
: 由小到大、再由大到小彼此連接而成的話，
: 那麼三維球面（三維流形），就是由許多二維球面（二維流形）
: 由小到大、再由大到小彼此連接而成。

書裡面這樣寫喔0.0

其實講locally Euclidean就好了。其他的category裡的對應物件也是這樣想的

: 注意，這和實心球是不同的概念。
: 因為三維球面必須鑲嵌在四維歐幾里得空間中，
: 而實心球可以直接放在三維歐幾里得空間中。
: 同胚。用比較概念性的方式說明的話，就是兩個流形可以在不切斷、不接起的情況下，
: 連續變形成另外一種。
: 常見的例子是甜甜圈的表面和馬克杯的表面，這兩種封閉二維流形同胚。
: 就可定向的封閉二維流形而言，可以用「有幾個洞」來判斷他們是否同胚。
: 譬如球面的洞數是零、甜甜圈和馬克杯的表面洞數為一、
: 把兩個甜甜圈接在一起成8字形，洞數為二，依此類推。這裡的洞數又稱做「虧格」

剛好這些是可以放進R^3的，可以這樣看。一般的定義就走到了簡單的代數拓墣

: 而所謂的「可定向」，在二維流形的情況中，是指能不能分辨出正面和反面。
: 甜甜圈和馬克杯的表面皆可分辨出正面和反面，
: 而著名的克萊因瓶（亦譯做克萊因壺），則為不可定向的二維流形。
: 順帶一提，莫比烏斯環，也是不可定向的二維流形（但它不是封閉流形）。
: 至於「單連通」，簡單來說，在二維流形的情況中，
: 就是當你把一條橡皮筋放在這個二維流形上時，
: 不管你怎麼放這條橡皮筋，它都有辦法縮成一個點。
: 顯然，甜甜圈的表面就不是一個單連通的二維流形。
: 因為如果我們把橡皮筋套住甜甜圈中間的洞的話，
: 橡皮筋就沒辦法在甜甜圈表面上縮成一個點。

阿你沒講到什麼是封閉，不過我也是翻維基才知道的

封閉是compact without boundary

額    without boundary是說locally R^n, boundary是locally有半R^(n-1)

compact好難正常的解釋0.0

某個等價條件是可以嵌進高維球面

: 讓我們再回過頭來看龐加萊猜想的內容，
: 任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。
: 也就是說，如果你把一條橡皮筋放在一個封閉的三維流形上，
: 而不管你怎麼放，這條橡皮筋都可以收縮成一個點的話，
: 這個封閉的三維流形就會與三維球面同胚。
: 然而，三維流形這種東西實在太過抽象，所以我們必須引入「拓樸」的概念來說明。

用Whitney embedding，把它想成在高維空間中locally是一組好的smooth function定義出

的解集就不抽象了(?然而對解決這個問題應該並無卵用

: 至於封面，我是覺得原日版封面就很不錯了。
: 世茂版的封面也還可以接受啦～～
: 就台灣的市場而言，這樣的封面應該比較能觸及更多族群。
: 不過像青文的第一集封面就...我覺得會自我限制讀者群...

某個我認識的北一女中數學老師很喜歡這套書，還會在FB上傳教

但我不知道是哪個封面版本

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有時數學真的很難。拿來跟人聊天，你講maximum principle只會被別人覺得噁心。

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推 dodomilk: 我應該沒有堅持什麼吧XD 就是想用有趣的方式來說明而已
→ dodomilk: 喜歡的笑笑，不喜歡的也笑笑就好了啊～
推 dodomilk: 封面是這樣，青文出第一集，書名譯為《數學少女》，封面
→ dodomilk: 請台灣畫家畫萌系畫風的兩個女角
→ dodomilk: 世茂出第二到六集，書名譯為《數學女孩》，封面是出版社
→ dodomilk: 自己去找的真人照片。
→ dodomilk: 不管是青文的第一集還是世茂的二到六集，封面都和日文版
→ dodomilk: 不同。
→ orangeon11: 學姐好
→ cmrafsts: 樓上害我一陣惡寒
推 siscon: 大師...
推 D122: 學妹好
推 Vulpix: 不會很難啊，就是光滑緊緻又有點彈性讓我們可以捏！
→ Vulpix: 要constant K的話，那找2+1維Minkovsky space的雙葉雙曲面
→ Vulpix: 吧。這個是經典的Poincare disc。
推 mitmosfet: 原PO來介紹一下Ricci flow吧XD
→ mitmosfet: 這樣你的 maximum principle 就可以派上用場了 ~
→ mitmosfet: (雖然這裡要用的張量形式的 maximum principle)