Re: [閒聊] 五胞胎的受精卵分裂數學問題

[cmrafsts (喵喵)]

※ 引述《yin0416 (鉛筆)》之銘言：
: 忽然間想到，雖然中野五姊妹的出生順序是一花、二乃、三玖、四葉、五月，但她們的形
: 成順序可能完全不是這樣，但是她們的形成順序是不可能知道的，所以討論她們分裂成五
: 顆受精卵的方式有幾種。
: 由於作品一再強調她們長的一樣，應該就是同卵五胞胎吧！把他們當成全同可區分來討論
: 看看。
: 舉個同卵三胞胎的例子，受精卵 A 分裂成 B 和 C ，接下來不是 B 就是 C 會再分裂成
: D 和 E 。最後達成三個受精卵 B 、 D 、 E 或 C 、 D 、 E ，只有兩種分裂方式，答
: 案是 2 。
: 請問五胞胎會有幾種分裂方式？

設 a 為一顆受精卵分裂成 n 顆的方法數 (假設不會被五月吃掉)
    n

約定 a  = a  = 1。當 n >= 2 時，首先要先分裂成 2 顆。假設最終來自第一顆的有
      0    1

p 顆，第二顆的有 q 顆，則 q = n-p 且組合數有 a  a    種。 因此我們有遞迴關係
                                              p  n-p
                              n-1
                      a  =     Σ  a  a     for  n >= 2.
                       n      p=1   p  n-p

設 F 為生成函數

                                      ∞      n
                             F(X) =   Σ  a  X  .
                                     n=0   n


由遞迴關係可得
                                2
                            F(X)  =  3F(X) - (X+2) .


由二次方程公式解可得
                                          ＿＿＿＿
                                     3 ±√1 - 4X
                           F(X) =   --------------- .
                                            2


考慮常數項得                              ＿＿＿＿
                                     3 - √1 - 4X
                           F(X) =   --------------- .
                                            2


將根號以二項式展開並比較係數。由二項式定理，

                        ＿＿＿＿     ∞     n  1/2  n
                       √1 - 4X   =  Σ (-4)  C    X  .
                                    n=0        n

比較係數，得當 n >=1 時，
                                2n-1     n-1   1/2
                          a  = 2     (-1)     C     .
                           n                     n


化簡組合數可得                                     2n-2
                            n-1                  C
                           2    (2n-3)!!           n-1
                  a  =   ---------------  =  --------------  .
                   n              n!               n


這是卡特蘭數    我早該知道的

一花數學這麼好(?)應該算得出來吧？

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往好處想，你沒有妹妹就代表你妹妹不會被你弄髒。

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※ 編輯: cmrafsts (74.108.7.47), 12/12/2019 13:21:46
推 chenteddy: 這很簡單吧 國小因該就有交了
噓 keerily: 應啦幹
※ 編輯: cmrafsts (74.108.7.47), 12/12/2019 13:38:26
推 ases60909: 嗯嗯我的看法跟你一樣
推 raysbuck: 你這題錯了 答案應該是IKEA
推 marchcharlie: 答案是紫色 因為外星人不戴帽子
推 orangeon11: XDDDD
推 revorea: 有認真有推www
推 baseballkan: 對不起 我離散數學忘光了
推 TommyTora: 嗯嗯好喔
噓 jack82822005: 太複雜了吧？XDDDD
推 jack82822005: 剛按錯XD
推 shell5566: 恩恩跟我想的依樣
※ 編輯: cmrafsts (160.39.188.230 美國), 12/13/2019 06:25:15