Re: [閒聊] 數學直覺：關於抽卡的機率

[siscon (laisan)]

※ 引述《Senkanseiki (戦艦棲姫)》之銘言：
: 1/n的抽中機率，抽了n次，在n趨近無限時，抽中的機率是多少？
: 白話一點說，如果有個1%出五星的抽卡，
: 100抽內抽中五星的機率是多少？
: 答案接近63%
: （實際上是1-1/e，e是自然底數）

首先釐清 這個問題問的是

「當抽到期望值的數量時，抽中一張以上的機率」(倖存的歐洲人)

也就相當於在問 1-一張都沒中的機率(非洲人)


每一抽中的機率是1/n 沒中的機率就是(1-1/n)

連續n張沒中 就全部乘起來乘n次 就是(1-1/n)^n

這邊我們定義非洲人的機率P=(1-1/n)^n

那我們已經知道這個在n趨近無窮大的時候會趨近於1/e了

問題變成 1/e取上界無條件進位約36.8%

當作抽卡遊戲(1/n約0.7%~2%)的趨近值 算是一個合理的估計嗎?


這就牽涉到這個函數的趨勢

無腦畫圖

進入隨便一個函數畫圖網站 ex.https://www.desmos.com/calculator

輸入函數P

https://i.imgur.com/JWS2fz9.png

看起來非常平 而且很可能是嚴格遞增

隨手算一下n=10的時候 P取下界無條件捨去約等於34.8%

也就是說n>10的時候 非洲人的機率P會位在34.8%~36.8%

誤差2%之內非常小


當n=100(1%)的時候 P約36.6%

當n=143(0.7%)的時候 P約36.7%

所以說原PO說的沒錯 n不需要到無限大

這個數字當成大部分抽卡遊戲的估計值可以說是足夠準確了


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吾名惠惠 乃是紅魔族第一魔法師 操縱最強爆裂魔法之人
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https://i.imgur.com/hga3Wsr.jpg

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推 rock5421: 所以有三分之一大爆死是正常的意思嗎
→ ccode: 以期望值為1去擬定策略(抽1/p)本身不就是很有問題的作法?
→ siscon: 對 抽卡遊戲抽到期望值數量 會有1/3的人抽不到 可以這樣想
→ rufjvm12345: 沒在期望值抽到算大爆死?
→ siscon: 不然應該準備多少抽比較合理呢
推 arrenwu:                            保底數目
→ ccode: 看覺得累積幾%機率能抽到幾張囉
→ ccode: 極端一點來看，只想蒐集1張的人，100抽100中會有99張浪費，
→ ccode: 或說這多出來的算進期望值其實只是灌水而已。
→ siscon: 其實還真的蠻多人覺得沒在期望值抽到就很非 殊不知有1/3
→ siscon: 有保底就不用討論 保底是非常佛心的機制硬把機率拉到100%
→ siscon: 原本在抽數上升的時候成功抽中一張的機率的確會上升
→ siscon: 但會上升的越來越慢 也就是抽數增加的效益越來越低
→ siscon: 保底可以瞬間拉到100%
→ ccode: 要相信浮點數的極限!
推 arrenwu: 沒保底的轉蛋遊戲我根本不建議玩 嘻嘻
→ siscon: 用抽卡數量挑戰浮點數的極限可能...有點勉強
推 sunshinecan: 推 用期望值當分界的話 會有近1/3非 沒保底真的別玩
推 MoodyBlues: 直接寫code  模擬
推 stardust7011: 用原本條件，1％300抽也有5％機率不中……