[閒聊] 賭徒謬誤：關於抽卡的機率

[Senkanseiki (戦艦棲姫)]

https://youtu.be/jA91YFuaxUQ
雖然影片是數學（而且是日文）
但是在很多抽卡的遊戲都用得到的命題：

1/n的抽中機率，抽了n次，在n趨近無限時，抽中的機率是多少？

白話一點說，如果有個1%出五星的抽卡，
100抽內抽中五星的機率是多少？

既然是1%，100次抽到的機率應該很高吧？

所以你可以猜猜看，接近以下哪個數字？
100%
90%
80%
70%
60%

答案在下

















答案接近63%
（實際上是1-1/e，e是自然底數）
而這個數值也很接近比較常見的「1%抽100次抽中」的機率了

應該比很多人想像中的低很多
所以以後抽卡的時候要有這樣的心理準備
就算是1%，抽100次也只有63%抽中
不要被直覺給騙了

以上，給各位當作參考

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推 dces6107: 這不是第一次就會抽中了嗎？
推 hami831904: 這…這是要參考什麼？
推 NozoxEli: 50%吧，有跟沒有
推 a2j04vm0: 抽n次 n+1次時會抽中
推 j53815102: 天井：答案是1啦
→ Ttei: 沒屁用的東西
推 weltschmerz: 下一次會抽中
推 bleach69: 只要抽了馬上把手機砸了 就會永遠處於中了跟沒中之間
推 airawesu: 我認為這命題一開始就有謬誤 但我找不到證據
推 dustlike: 微積分都還給老師惹
→ dustlike: 完全不會解
推 arthurkot: 你的卡池有無限多，請問你的錢有沒有無限多?
→ dustlike: 式子列得出來
→ shadow0326: 0% 抽中就不抽了 會抽到無限次一定比黑夜還黑
推 Porops: 這題目用在抽卡不準吧，現在很多都有天井了
推 nahsnib: 啊不就高中生就能做的e
→ nahsnib: 順帶一提如果有保底整個機率的算法會差很多喔
推 ITEegg: 按下抽卡後，馬上關掉螢幕，這樣就介於抽中跟沒抽中之間
→ ITEegg: ，薛丁格的抽卡
→ Abby530424: 有天井答案是1 沒有天井答案是0
推 tzyysang: 抽卡是(1-p)^n 吧 裡面怎麼會是1/n
推 ainamk: 如果沒有別的限制 1%連抽100次有36%左右抽不到的意思
→ ainamk: 同樣0.1% 抽1000次也是差不多36%抽不到
→ cccict: 趨近無限分之一的機率被玩家噓爆的機率是100趴
推 ne570479: 沒把地理位置跟人種算進公式?
推 dodomilk: 還以為你要講什麼，不就是e的由來之一嗎...
推 JeffMnO4: 可是抽中就不會再抽了，所以應該是1-(1-p)^k吧？
→ roger2623900: ？？？？？ 算這個幹嘛？
推 arrenwu: 請問你標題所謂的謬誤在哪裡？
原始的直覺（謬誤）：覺得1/n的機率會在n次裡面抽到
實際上：n夠大的時候，大概只有63%機率抽到
推 dephille: 有哪個機率1/n的遊戲天井會讓你n抽就能拿嗎？
噓 philip81501: 沒有意義
※ 編輯: Senkanseiki (210.242.76.224 臺灣), 06/01/2020 10:37:30
推 nahsnib: 謬誤在於很多人會誤會，以為n抽抽1/n一定會中
推 newtypeL9: 錢最好是無限的啦
→ nahsnib: 跟所謂的生日悖論一樣，其實不是悖論，只是弔詭的事實
推 arrenwu: 這...............喔 原來所謂的謬誤是那個XDDD
→ arrenwu: 但小學不是就有做過硬幣實驗了嗎？
→ arrenwu: 我記得老師有特別說明你丟兩次硬幣不一定出現正面啊
推 Lance0722: 課到有啦  假命題
推 pearnidca: 明明都是50%
噓 fman: 講了一個數學命題，但哪個手遊抽卡機率會趨於無限小啊? 你感
因為用常見的1%抽100次就已經很接近了
→ ninomae: 影片內容沒有講到這是在算抽卡類的
影片是數學老師的純數學頻道
單純是這個主題跟抽卡有關我拿來用
→ fman: 覺與抽卡有關，實際上沒什麼關係啊
噓 killerken: 最基本的期望值就能解釋了
推 nahsnib: 怎麼沒有，5星率1%，然後5星有10隻這樣就千分之一了
※ 編輯: Senkanseiki (210.242.76.224 臺灣), 06/01/2020 10:40:57
推 roger2623900: 會有人會誤會嗎？ 抽到的機率本來就會比較低啊 因
→ roger2623900: 為有人會抽到2次3次
→ nahsnib: 這極限值的誤差就低於1%了
推 ClannadGood: 真的會有人誤會 不要質疑某些人的智商
推 tzyysang: 我都是算這隻角色期望值幾顆石頭 要多少錢
→ tzyysang: 這樣比較有用
噓 fman: 1/100和1/趨近無限會很接近? 是你的問題還是我的問題，不然
推 ainamk: 我覺得用直覺很難猜到這個機率低於2/3
→ fman: 問個客觀問題，1/100和1/趨近無限差幾倍?
→ nahsnib: 然後講期望值的，人家有要你算抽卡需要花多少錢嗎？
推 icou: 我完全沒玩過抽卡/轉蛋/課單這類遊戲，所以不是很懂這機制
→ nahsnib: 也不是算次數期望直
→ ainamk: 但是會覺得接近100%的就真的肯定是沒抽過的人XD
→ tzyysang: 還有多少機率會天井
→ fman: 這個數學命題的條件之一是n趨近無限，就與現實無關了
→ icou: 但是每一個卡應該都是有個固定機率吧?那這樣在無限次抽的狀
→ nahsnib: 當然不能比，但我們可以比(1-1/無限)^無限與(1-1/n)^n
命題確實是趨近無限
只是我的意思是用最常見的1%抽100次就已經夠接近1-1/e了
實際上1%抽100次就是大約63%抽中
→ nahsnib: 而他很快的就會趨於穩定，誤差極低
→ icou: 態下，以數學角度機率就是趨近1不是嗎?
→ nahsnib: 所以就計算上來說，與極限的差距就看你希望誤差多小
→ ainamk: 那個fman你冷靜一下 老實講就算10%抽10次也很接近這數字了
推 jaye5e5e5e5: f大你自己算一下就知道很接近了好爆
→ nahsnib: 你不用抽無限多次，也不用機率真的趨近無限小
→ CrazyLord: 錢沒有無限那就駭進伺服器改抽卡機率或石頭數量啊(幹話
推 dustlike: 1%抽100次就是63.4%抽到了 已經很接近啦
噓 fumi5538: 哪個遊戲的抽卡率是1/n
噓 fman: n不只是分母還是抽的次數啊，1/100不代表只會抽100次啊
→ nahsnib: n可以自己找數字帶入...又沒有規定n是正整數
→ dustlike: 這篇開頭應該要講一下有些人誤以為1%就是抽100次會出貨
確實應該講一下原本賭徒謬誤到底在講什麼
→ fman: 抽卡實際狀況是100抽沒抽到會繼續抽，就與原命題不合了
※ 編輯: Senkanseiki (210.242.76.224 臺灣), 06/01/2020 10:46:13
→ nahsnib: 原命題就是這樣，你要整個推翻我也沒辦法
推 icou: 對啊，抽卡次數怎麼可能會連帶改變抽中機率? 這是獨立的阿
噓 fman: 我沒有要推翻原命題，只是要說原命題與抽卡狀況不同，拿來比
→ fman: 較抽卡是錯的
噓 supersusu: 錢趨近無限的話，機率是100%
→ ainamk: 其實比較有意義的是去估計抽幾次中的機率>90%、95%、99%
推 tzyysang: ptt這個只有112能註冊的地方
→ tzyysang: 恐怕是找不到覺得1%100抽必出貨的人了
→ Ricestone: 有抽到：抽中次數>1的意思   這機率就跟次數有關
推 nahsnib: 人家討論的明明就是1/n的狀況抽n次，抽中機率是多少
推 Mormory: 「抽到期望值恰好等於1的數量時，抽到一張以上的機率。」
推 icou: 1/100的機率 不等於 抽100次會抽中，這本來就是常識不是嗎..
→ Ricestone:                 >=1
→ nahsnib: 你硬要說可以抽超過n次，這不是找碴嗎
推 sunsptt: 不太懂 但那句n趨近無限是不是怪怪的
→ ainamk: @icou 這個列式會有一個無限大在分母 所以不一定會到達1
推 d125383957: 1-[1-（1/n)]^n
推 hyuchi0202: 只有兩種機率 錢夠多抽到有 跟其他
→ Mormory: 這篇發巴哈比較適合，超多人以為1%就是抽100次會中呢 (戰
→ adk147852: 無限多抽=課到有  有錢人你幫他算這個
→ d125383957: 就單純高中等級的機率計算而已……
→ longkiss0618: 比想像中高 還以為只有50%
※ 編輯: Senkanseiki (210.242.76.224 臺灣), 06/01/2020 10:51:16
噓 PolarWood: 文組
→ e2167471: 學機率只學皮毛的才會有這種直覺吧
推 s891234: 100就是63.4%沒錯，期望值1也沒錯，因為還有一次抽到好
→ s891234: 多的歐洲人拉高期望值orz
推 icou: 問題敘述:1/n的抽中機率，抽了n次，抽中機率是多少? 更精確
推 siscon: 賭除謬誤不是這個意思
推 cross980115: P(n抽內有)=1-P(n抽內沒有)
→ cross980115: =1-(1-1/n)^n
→ cross980115: 用n=100去代 大約是63.4%
推 tamynumber1: 還沒提到的是要抽到1%卡片中的指定卡，實際機率會更
→ tamynumber1: 低，你以為保底不會歪嗎？
推 h0103661: 2020還有哪個遊戲的保底不是指定卡或自選的
推 hdjj: 機率和期望值
推 sunsptt: 保底還歪這有點雲耶
推 YaLingYin: 你誤會賭徒謬誤的意思了= =
→ yellowhow: 就算PU率比較高的FGO，抽到PU那位的機率好像也沒1%?
→ yellowhow: 那麼保底歪掉真的不是很難見到的狀況...
推 arrenwu: 會犯這種謬誤的賭徒 在賭場能活超過2天嗎？
→ Senkanseiki: 數學好就不會當賭徒了吧
→ Senkanseiki: 然後賭徒謬誤確實不太對，我改一下標題
推 sunshinecan: 一般抽卡遊戲的機率不會設1/n這種越抽越難中的值吧?
推 CornyDragon: 職業賭徒算勝率應該比你看漫畫還勤= =
推 george40516: 只有沒錢，沒有抽不中
→ yellowhow: 其實背地裡到底有那些機制也只有工程師才知道了
→ george40516: ↑這種心態的人如何XD
→ Senkanseiki: 當然不會，我的意思只是你用設定機率的倒數次數去抽
→ Senkanseiki: ，雖然期望值是1，但機率其實不高
推 CrazyLord: 哪個遊戲的保底不是指定卡或自選 千年戰爭啊
推 a204a218: 不要意外，以為1%是抽100次差不多就會出的人真的很多
→ yellowhow: 機率也就寫好看而已，除非所有玩家合力統計抽抽結果
推 roger2623900: 職業賭徒數學都超好吧？ 不然怎麼算牌？
→ yellowhow: 然後去分析推測，雖然這沒意義，因為沒證據...
推 lcw33242976: 那如果有天井保底的機率勒？
→ ccode: 不是廢話嗎，畢竟期望值還有抽到兩張以上的情況去加成啊
→ yellowhow: 保底通常都不會給你自選阿，天井才可以
→ Senkanseiki: 世界上真的有職業賭徒嗎（遠目）真專業應該當莊家
→ Senkanseiki: 莊家自己設定期望值才是永遠的贏家，你賭徒怎麼玩都
→ Senkanseiki: 玩不贏莊家的
推 dephille: 保底跟天井也是不一樣概念。很多遊戲大概50抽就保ssr之
→ dephille: 類的
→ cross980115: 看你要不要把算牌算到被賭場黑單的當職業吧
推 randolph80: 機制是廠商寫的，不一定是那樣
→ randolph80: 搞不好有限制角色總量
→ ccode: 賭徒的「贏」是拉其他賭徒當墊背
→ hdjj: 而且對玩家來說,「機率」並不是重點,「期望值」才是
推 jwind3: 德州撲克玩家：你說啥職業很少
推 CornyDragon: 又不是只有莊閒對賭的遊戲 不然撲克大賽是辦什麼的
→ cross980115: 設定總量的不能夠標示機率為多少 因為一定不準 連偽
→ cross980115: 隨機都算不上吧
推 npc776: 你直接講結論:抽卡很糞 這樣就行了
噓 webermist: 這不是有讀高中的人都知道嗎
推 Bestgktw: 樓上，因為真的很多人忘光數學只憑直覺阿
→ npc776: 這個還是建立在卡池沒有動過小手腳 公表機率是正確可信的
→ npc776: 前提上 去年時空貓不就鬧了個大包 公告他們卡池有藏機制
→ npc776: 十連如果超過5SSR會自動重抽一個
→ eva05s: 以前聽說過國外有個玩線上德州撲克算出高勝率法賺了百萬
→ eva05s: 鎂後，被遊戲公司吸收的工程師
→ TED781120: 因為100出1不叫機率是叫期望值。
→ eva05s: 所以職業賭徒還是有希望的
推 arrenwu: 投行那些不就職業賭徒
→ TED781120: 37%人沒抽到，是因為有超過30%的人在100抽內抽到兩個
→ TED781120: 以上，當抽數足夠時平均會在百抽出一。
→ TED781120: 但是沒抽到的人，你們的SSR被別人抽走了請節哀再一單
→ TED781120: 。
→ skyofme: 我怎麼覺得這個算數理論用在抽卡很奇怪? 理論上的機率本
→ skyofme: 來就只是在N次統計下會回歸的一個基準點吧?
推 kirito1219: 不用管那麼多 拿出魔法小卡 抽到有為止
噓 joe61008: 這是常識
噓 siscon: TED說超過30%抽到兩個以上怎麼算的 抽0個1/e 抽1個也1/e
→ Senkanseiki: 不要以為所有人都很有常識
→ skyofme: 至於遊戲機率更是人為設計的演算法，並不是真隨機
→ siscon: 抽兩個以上=1-2/e約26% 小於30%阿
推 revorea: 對基礎統計有興趣可以去查看看二項分布、反二項分布
推 LeMirage2000: 井出乃就不用想那麼多惹
噓 ilovenatsuho: 就這？
推 sochensun92h: 中的機率不是憑平時累積福報嗎 誰跟你看機率
推 jacky0207: 機率只是参考，有那個命單抽就中
推 hsinhanchu: 沒什麼意義，就是抽到、爆死、中途撤退三選一或天井
推 REDF: 看留言就會知道還是很多人看不懂 不過.. 嘛 我也是  我恨統
→ REDF: 計
→ cross980115: 標明機率 沒有動手腳，依照亂數去跑的是偽隨機啊(真
→ cross980115: 隨機太貴 我想應該不會有遊戲公司想那樣弄)
推 kasim15: 你能抽到趨近於無限也是很猛了
→ cross980115: 不過偽隨機的函數夠複雜 周期性夠長 還是足以模擬真
→ cross980115: 隨機的
推 arrenwu: 其實那個偽隨機也已經夠隨機了
→ s20116: 數學在好，你抽卡的中獎率也不會變成100%的
推 abex144312: 長知識幫推
推 bloodruru: 正因為抽中的機率是63% 所以才會覺得很高阿 XDD
→ safy:  這個我記得高中數學就有教了吧...
→ npc776: 機率統計是我高中數學唯一有及格的章節(挺 不過一樣忘光了
噓 kl40: 會誤會的是不是沒上過高中機率...
→ npc776: 反正只要知道抽卡很糞就足夠了
→ howdo1793: 取後不放回
噓 lovemost: 你這沒有考慮100抽中兩張以上
→ npc776: 事實上連箱抽都不是取後不放回了 只是箱抽有底 卡池沒有底
推 louisxxiii: 這在算三小   每一次都是獨立事件好嗎
推 aegis91086: 用log就處理的，搞那麼嗎啡緩解
→ arrenwu:                                怎麼突然嗑藥了
推 digodi: 獨立事件也可以連貫啊。單抽不中率是0.99，100抽都不中率
→ digodi: 是0.99^100，就是0.366。
→ aegis91086: 錯字...
噓 NomeL: 可4期望值是1啊
→ aegis91086: 然後你想要多少機率用多少抽來抽到，就代log直接出來
→ aegis91086: 了
推 p20162: 你可能沒玩過遊戲 是零
→ NomeL: 個人體感抽到的機率都比它列的高w
噓 JMashburn: 1%機率一百抽期望值就是1張 你只算抽到的機率 沒考慮到
→ JMashburn: 百抽超過一張是想誤導誰
推 x159753852: 不過電子遊戲的隨機並非真隨機 這數字不適用在抽卡
→ x159753852: 另外他這個63%跟抽中幾張和期望值沒關係 因為他是以
→ x159753852: 「抽100次也沒有的機率是37%」來反推出 剩下63%的人
→ x159753852: 一定會有1張及以上
→ storyo11413: 抽一千次的時候少於九次中獎才可以考慮告詐欺
推 dderfken: 問題是他下次還你你要吐出來嗎
噓 a860204: 你爸媽平均有一顆睪丸
→ limyheart: 這不是自己計算機按一按就出來了嗎..
推 youdar: 這是不是有中文youtube也做過類似主題阿，感覺這數字看過
→ Ricestone: 這算常見的數字，這本身就老掉牙的問題
推 rabbithouse: 我的天啊 這個哪有那麼難懂XD
推 brightwish: 怎麼一堆數學不好的在挑毛病www
推 stocktonty: 我覺得答案應該是無意義
噓 Nogod1992: 命題錯誤，不要一直拿同一個未知數做多重假設好嗎
推 guogu: 原命題本來就是在1/N的機率下抽N抽抽中的機率了
→ guogu: 上面噓沒算抽中次數超過一的是不是沒看題目阿
噓 SSCSFE: 唉 別這麼急炫耀你（錯誤）的數學智識
噓 Scott850205: 這種數學高中機率不就有教了
→ namgal321: 遊戲卡池的機率通常都是固定的吧，有1/n這種卡池嗎ww
→ namgal321: 這代表遊戲會先預測玩家要抽幾次，來決定出卡機率
→ namgal321: 這種卡池我還真沒見過w
推 caesar12: 如果看到不熟的東西我一定不敢噓 不然會像這篇部分推文
→ caesar12: 一樣被大家笑
→ namgal321: 其實好笑的點是命題跟實際情況不符卻還算得很開心w
推 tp950016: 雖然不是多難的概念，但可以看到有推文搞不懂
→ Senkanseiki: 都已經舉例1%抽100次的數值了還要覺得不實際我也（
推 lolicum: 在我天井大將軍面前
→ lolicum: 沒有機率的問題
→ Jimmy030489: 同理某樓 你把期望值跟機率混在一起ㄌ
推 wiydluck: 期望值適合用再DPS以及抽幾張卡 機率適合用在有中沒中
→ wiydluck: 例如每下傷害為1 爆擊率為1% 打100下的傷害約為101(應該
推 Baitman: 50% 中 或不中
→ wiydluck: 但換個角度 有平行世界N個 其中%63個世界中 總傷為102
→ wiydluck: 上一行打錯 是101才對
→ wiydluck: 但其他平行世界(37%) 可能有爆擊0次2次3次4次 等等情況
推 vorsss: 好熱烈 XD 剛也想了一下 在1%會中情況下抽100次
→ Senkanseiki: 樓上建議另外發一篇，留言容易被淹沒
→ vorsss: 100次都沒中的機率是36.6% 算法是0.99的100次方
推 xxxrecoil: 63還66我忘記了
噓 e5a1t20: 不是吧 1-1/e是怎麼亂湊出來的 0.99^100 ~= 1/e ??????
→ vorsss: 但反向意思 應該是代表100次"至少中一次"?! (63.4%)
→ vorsss: 換言之 那63.4%你中幾次不知道 但至少有中一次
推 e5a1t20: 啊 是1/100抽100次 推回來
→ vorsss: 我這樣看法的是正確的嗎 小魯我非相關科系提問一下 XD
對，是至少中一次的機率，包含中1~100次在內
推 notneme159: 你沒有三取一啊 歐 亞 非
噓 c88tm: 標題在幹嘛？？
因為賭徒謬誤不是這個意思所以修正標題
噓 chun10396974: 不要覺得大家都沒有常識
可是真的不是大家都很有正確的機率觀念
→ vorsss: 如果正確的話 那應該就不是100抽會中"一次"為63.4% 對嗎
→ vorsss: 而是有中 但中幾次我不知道 反正都沒中是36.4%的意思
推 hsetaornte: 樓樓上你看完推文有覺得大家很有知識嗎..
→ Xavy: 這問題很好笑，跟抽卡一點關係都沒有阿
推 cities516: 這不是基本高中數學嗎？
由此可見有不少高中數學課是給體育老師上的(?)
→ Xavy: 抽卡會有1/n n趨近無限大的東西嗎
推 tomet: 趨近無窮大才是e，既然是抽100次，n請代100
推 vorsss: 哦哦 推文有人寫了 沒事 XD 剛沒仔細看推文直接發問的
→ skyofme: 我是覺得1/n不等於n次有1這件事情其實你現實中拿個骰子
→ skyofme: 或者硬幣就能直接驗證了吧
推 tomet: 而且命題也是錯誤，抽卡機率不會因為你抽的機率變大而增加
這單純是我寫法不好
→ xoyo: 一般說期望值啊  又不是每次抽數跟想要的數量都是1 難道每次
→ xoyo: 抽都要算一次嗎
→ xoyo: 1% 100抽沒抽到 只是會說自己衰吧
→ xoyo: 我沒看過有人說程式有問題的
推 Vulpix: 推文一堆簽名檔……
噓 sunshinecan: 原命題是"n趨近於無限" 不能以白話為由將n代入100吧?
→ sunshinecan: 前後文不太通順 推文裡才會有板友提出質疑
推 sunshinecan: 補推
單純是我的寫法讓人誤解，回文有人有解釋了這裡就不贅述
簡單來說，原本的意思只是「你抽了抽卡機率的倒數的次數也只有63%左右抽中」
…怎麼好像沒有比較好懂
推 vorsss: 雖然推文很熱烈 不過我想原PO出發點是好的 想分享討論吧
推 Vulpix: 極限是估計值，只是這估計值很準而已。說它不準，也得給
→ Vulpix: 個不準的判別法啊。
就(1-1/x)^x這個函數收斂的真得很快，100就已經很接近無限大的值了
噓 OxFFFF: 不就1 - (0.99)^100
推 aegisWIsL: 這題連數乙都是必考的，你各位都理組怎麼可能不會
→ f5f65s45gho: 賭徒謬誤的重點在於outcome是否獨立ㄅ
推 sunshinecan: 沒說估計值不準 是開頭的命題容易讓板友誤解原PO意思
→ sunshinecan: "1/n的抽中機率，抽了n次，抽中的機率是多少？"n=100
→ sunshinecan: 把n趨近無限拿掉也不影響後續期望值與機率的相關討論
有些人誤會成機率會變成1/n一直下降，但我不是這個意思
我的意思是今天已知1/n，你抽n次抽中的機率會接近63%(1-1/e)
噓 polun: 我的經驗是0%  你不懂遊戲
推 oiolo: 1-0.99^100吧 沒記錯的話
推 sunshinecan: 自然底數另行補充 應該能減少些討論失焦 (?
噓 DinDing1129: 高一就有教機率 到底有誰會覺得1%抽100次一定出貨？
推 KUKIKEKI: 原po應該去別的地方po 這裡應該大部分人都知道1%不等於
→ KUKIKEKI: 抽100次就會中
問題還是有少數人不知道，反正當科普(?)
噓 forgr202: 國中數學也能一篇
你國中就教到自然底數我也是覺得蠻厲害的
→ ert0700: 我好奇的是你們怎麼沒有探討程式語言中的"隨機"取樣真正
→ ert0700: 含義
不懂程式語言
噓 Acetoxy: 你文組的？
推 q142038: 實用推 高中數學都還給老師了
噓 Devarena: 白癡才會有這誤會
※ 編輯: Senkanseiki (60.248.3.246 臺灣), 06/01/2020 22:21:33
噓 kidkenyen: 蛤...？
噓 uloyoy: 這種廢文發在八卦板就好，還可以發來希洽，也是很厲害
推 coldtoby: 這個還要加上個人的中獎頻率去算才準 像我的話 是0%
推 aikotoba: https://i.imgur.com/stKjSCe.jpg