Re: [討論] 原神機率小教室

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《siscon (e-diot)》之銘言：
: 各位好，今天要討論的是原神的保底機制
: 持有的PU角與常駐五星角比例會是幾比幾呢?
: (1) 1:1
: (2) 2:1
: (3) 3:1
: 請推文回答 :)
推文底下引入Markov Chain方向是對的，
不過這問題涉及到的數學成分其實很高喔！

首先，"保底的次數夠多 保底抽出來的角色是PU角的次數比例"是什麼意思呢？

讓我先定義隨機變數X[t]如下：

       如果第t次保底出的是PU角，那麼X[t] = 1；反之，X[t] = 0

那我們接著可以定義另外一個隨機變數 Y[t]
                t
                Σ  X[i]
               i=1
    Y[t] =    ----------------
                     t

這個隨機變數指的是 t次保底裡面出PU角的比率


好，回到原來問題，這問題在問的其實就是

        當 t 很大的時候，Y[t] 大概是多少？


聰明的洽眾們，馬上就闡述道：

        {X[t]} 本身形成一個 state space 為 {0,1} 的 Markov Chain
        然後 Y[t] 在 t 很大的時候會非常接近 X[t] = 1 在 stationary
        distribution 的機率, 也就是 2/3

這敘述很直觀的，至少正常人都會覺得肯定是這樣。
但其實中間有很多數學家的辛勞 XD

這是個 average number of visits to a recurrent state 的問題

數學上可以分成兩段處理：

令 M 為"現在狀態是 X[t] =1，下一次又跳回 1 的平均時間"

(1) Y[t] 趨近 1/M 的機率是 1
    (這個其實滿直觀的，可以想成平均M次會碰到PU一次，
     所以平均一次保底會抽出 1/M 個PU角的感覺        )

(2) {X[t]} 這個Markov Chain，不管你在哪個狀態下，跑到另外一個狀態的平均時間
    都是有限的 (irreducible and positive recurrent)，
    所以 X[t] = 1 在stationary distribution 的機率是 1/M

結合(1),(2) 可以證成上面綠字的敘述

有興趣的人可以看下面這個相關教學 (共7頁)

MARKOV CHAINS AND THE ERGODIC THEOREM by CHAD CASAROTTO
Link: https://bit.ly/2K5FAqA

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https://pbs.twimg.com/media/ElI7vEBVkAEvNtS.jpg
Cinderella Switch       by 角卷綿芽、不知火芙蕾雅
                        2020-11-28 星期六 4pm~8pm

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推 jasonx105: 作業研究碰過這東西從來沒搞懂過.......
這個是學理基礎複雜，可是用起來很直觀。
至少我覺得板友們的直覺都是很正確的
推 TeamFrotress: 歡迎來到西洽小學堂，我們今天要教的是「機率」
推 labbat: 高中機率 大學機率 研究所隨機過程
推 sunshinecan: 推個
推 YishengSu: 蠻有趣的
推 scarbywind: ....
→ hyuchi0202: 有保底就180抽抽到有，不用算數學
→ SiaSi: 推推
→ HeterCompute: 其實就某方面來說就是極限那套吧，存在 收斂
數學上的講法是 "隨機變數的數列 {Y[t]} 收斂到 2/3 的機率為 1"
※ 編輯: arrenwu (98.234.190.206 美國), 01/10/2021 03:41:27
→ smart0eddie: 趕快推才不會被人發現我聽不懂（？
推 Vulpix: 或許還要算上重複？
推 CorkiN: 嗯嗯跟我想的一樣
推 siscon: 深入探討用到極限就變比較複雜