Re: [閒聊] 達斯維達會跳的話盧克還打得贏嗎？

[nahsnib (悟)]

我不曉得維達能跳會不會影響戰局，不過可以分享一下韋達跳起來的話可以幹嘛：


1988年，這年出了奧數史上最難的一道題目：

對正整數a, b，如果(a^2+b^2)/(ab+1)也是整數，則後者必定是完全平方數。



這聽起來很簡單的東西，把當時的出題組織都給難倒了，雖然負責出題的人有給出證明，

說服了其他人，但既然大部分的專家都做不出來，那一定是好題目，於是就真的把這題放

入考試中了。

出乎意料的是，在268個考生中，竟然還是有11個考生正確無誤的解出！

而且這道題目的解法，完全不需要微積分、三角函數、離散數學、線性代數，

他只需要使用一條定理，與一條演算法就可以解決：


韋達定理：二次函數axx+bx+c的二根和=-b/a, 二根積=c/a

無窮遞降法：假設一個問題有解，永遠有另外一個更小的解，當這種情況發生時，
            最小答案必定是0（而往往會得到矛盾的結果）


韋達定理是大多數國中數學就會額外補充的，證明本身也不複雜

無窮遞降法更是早在上古時代就有人拿去嗆自己老師，落得自己被推落海中的慘案，

沒錯，就是那個希帕索斯。


這樁悲劇是怎麼發生的呢？那就要把話題延伸一下，來講一下畢達哥拉斯以及他愉快的門

徒。

眾所皆知，畢達哥拉斯證明了畢氏定理，他更是一個宗教家，堅信「萬物皆數」的法則，

而在他的理論上，所有的數字都可以找到「共度」的結果，

什麼是共度？假設今天有個長方形，長邊121公分，短邊33公分，我們可以把這個長方形

切割成很多個邊長為11公分的正方形，這時候我們說121、33被11共度。

很難理解？沒關係，我們白話翻譯一下：「所有的數字都是有理數」


想當然耳，只要有上國中數學就知道這句話在唬爛，而希帕索斯當年就這樣說了：

「如果正方形的邊長與對角線可以共度，那我們把這個正方形沿著對角線切割成4個等腰
  直角三角形，因為相似的觀念，他們也可以被同樣的線段共度。
  這個切割後相似的動作可以無限地進行下去，每次都還是能用相同的線段共度，
  所以，這個共度線段的長度，長度必定是0！」

當他把這個證明拿去給他的老師看之後，就被推落海中了，堪稱數學史上最大的汙點之一




當韋達定理碰上無窮遞降法，這就是當年奧數的奇蹟，史稱「韋達跳躍」。

簡單記述如下：

如果存在某個k，(a^2+b^2)/(ab+1)=k，k不是完全平方數，則

那我們找這些可行的a, b裡面最小的一組，不失一般性，令a >= b，

這時：

a^2 + b^2 = kab + k,          a^2 -(kb)a + (b^2-k)=0

這時候我們就會發現，a是：

x^2 - kbx + (b^2-k) = 0 的其中一解，至於另外一個解，我們叫他做A吧。

由韋達定理，

A        =       kb - a         =       (b^2-k)/a。

請注意，因為一開始就說k不是完全平方數，所以A是非0整數。


現在把A帶回去原本的式子，我們就得到(A^2+b^2)/(Ab+1)=k>0，

這裡可以保證A必定是正（不然k就是負的，不合理），


我們剛才又說過，A=(b^2-k)/a，但是一開始的假設裡面a>=b，所以

(b^2-k)/a       <       b^2/a   <=       a

由這裡會發現，A<a，可是A也滿足(A^2+b^2)/(ab+1)=k，

但我們一開始就說(a,b)是滿足這個條件裡面，a+b最小的一組，

這不可能再發現一組更小的答案才對，我們卻發現了，

這代表矛盾發生，從而反論「存在k不是完全平方數」，Q.E.D.







結論：韋達跳躍起來可以解決很多看似複雜的證明。謝謝觀看。

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風急天高猿嘯哀，渚清沙白鳥飛回。
無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來。
萬里悲秋常作客，百年多病獨登臺。
艱難苦恨繁霜鬢，潦倒新停濁酒杯。

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→ kisweet999: 你認真了... 真的
→ windr: ????
推 xxxrecoil: 蛤？
推 wuwuandy: 中間的 A>=B 寫成大寫了
感謝更正
※ 編輯: nahsnib (120.104.2.118 臺灣), 01/10/2022 14:59:25
推 shadow0326: 推一下==
推 ScottHulu: 痾
推 TetsuNoTori: 看不懂，反正先推了再說