第五講 先秦至隋唐的歷法沿革
中國古代天文學的最主要組成部分是歷法﹐換一句話說﹐歷法是中國古代天文學的核心。中國古代歷法不單純是關於歷日制度的安排﹐它還包括對太陽、月亮和土、木、火、金、水五大行星的運動及位置的計算﹔恆星位置的測算﹔每日午中日影長度和晝夜時間長短的推算﹔日月交食的預報等等廣泛的課題。從某種意義上講﹐中國古代歷法的編算相當於近現代編算天文年歷的工作。為此﹐我國古代天文學家展開了一系列的觀測與研究活動﹕譬如對歷法諸課題的共同起算點──歷元的選定﹐對一個又一個天文學概念的闡述﹐對種種天文常數的測算、各種天文數表的編制﹐對具體推算方法、天體測量方法和數學方法的抉擇和改進等等。這些就構成了中國古代歷法的基本框架和主要內容。
一、西周以前的歷法知識萌芽
這是一個歷法知識開始萌芽和初步積累的漫長歷史時期。由於生產和生活的需要﹐從對星辰出沒、日月運動的觀測中﹐人們逐漸形成了與這些需要密切相關的年、月、日等時間長度的概念﹐進而產生了初始的歷法系統。由於佔卜活動的需要﹐人們對天象變化、尤其是異常天象的出現﹐極為關注﹐這也刺激了人們對天象觀測的重視﹐並由此逐漸形成了天象記錄的傳統。這些都給後世的發展以吇鸕蟦葆[□?
1.觀象授時時期
太陽對人們無疑是至關重要的。古人日出而作﹐日入而息﹐就是以太陽的出入作為作息時間的客觀依據。太陽出入造成的明暗交替出現的規律﹐必定給先民們以極深的感受﹐於是以太陽出入為周期的“日”﹐應是他們最早認識到的時間單位。
自然﹐月亮的圓缺變化﹐是又一明顯的和意義重大的天象。說它意義重大﹐是因為月亮的亮光對於人們夜間活動的安排是關鍵的要素。經過長期的觀測和計數﹐人們逐漸發現月亮圓缺的周期約為30日﹐這便進而導致一個較長的時間單位“月”的產生。
對於更長一些的時間單位“年”的認識﹐要較“日”、“月”困難得多﹐但這是對於人們生產和生活的意義更為重大的一種周期﹐因為寒暑、雨旱﹐以及漁獵、采集乃至農業生產活動無一不與它有關。所以﹐人們對它進行了長期不懈的探索。由物候──草木枯榮、動物遷徙、出入等的觀察入手﹐大約是探索一年長度的最早方法﹐隨後才是對某些星象的觀測。後者所得結果要較前者來得準確。
據傳說﹐在顓頊帝時代﹐已設立“火正”專司對大火星（心宿二﹐天蠍座α星）進行觀測﹐以黃昏時分大火星正好從東方地平線上升起時﹐作為一年的開始﹐亦即這一年春天的來臨。由此不難推得一年的長度。這是我國古代觀象授時的早期形態。據研究﹐這大約是公元前2400年的事。
又據《尚書‧堯典》記載﹐在傳說中的堯帝時﹐“乃命羲和﹐欽若昊天﹐歷象日月星辰﹐敬授人時”。其具體的觀測方法與結果是﹕“日中星鳥﹐以殷仲春”﹐“日永星火﹐以正仲夏”﹐“宵中星虛﹐以殷仲秋”﹐“日短星昴﹐以正仲冬”﹐即以觀測鳥、火、虛、昴四顆恆星在黃昏時正處於南中天的日子﹐來定出春分、夏至、秋分和冬至﹐以作為劃分一年四季的標準。據推算﹐這大約是公元前2000年時的實際天象。
由上述記載﹐我們還可以推知﹐當時已有原始圭表的出現﹐否則人們就無從確定某星辰南中天的問題。這時的圭表還僅用於厘定方位﹐尚未用於測定日影的長度。觀測星辰南中天來確定季節﹐可以減少地平線上的折射和光滲等的影響﹐其精度自然要比觀測星辰出沒來得高。此外﹐從“日中”和“宵中”（指晝夜平分）、“日永”和“日短”（分別指白晝最長和最短的日子）等說法﹐可知其時已應用了某種測量時間的器具（這一點由下述《夏小正》的有關記載亦可証）。這些都說明﹐此時已進入觀象授時相當發達的時代。其標志是﹕所觀測的恆星已由一顆增加到多顆﹐由觀測恆星東升改為南中天﹐並已使用了某些器具。
更值得注意的是﹐《堯典》還記述了這時人們已經采用了“期三百有六旬有六日﹐以閏月定四時成歲”的初始歷法。這裡以一年為366日﹐當是人們對恆星周年運動周期的測算得到的結果。由於一年的長度與月的長度不存在整數倍的關系﹐該初始歷法已采用了置閏月的方法予以調整﹐這顯然是一種陰陽歷﹐是我國古代長期使用的陰陽歷的最早記載。
在《夏小正》一書中﹐則載有一年中各月份的物候、天象、氣象和農事等內容﹐它集物候歷、觀象授時法和初始歷法於一身﹐相傳它是夏代行用的歷日制度。就觀象授時法而言﹐它是以觀測黃昏時分若幹恆星（鞠、參、昴、南門、大火、織女、銀河等）的見、伏或南中天的時日﹐以及北鬥鬥柄的指向﹐作為一年中某一個月份起始的標準的。有人認為﹐《夏小正》乃是一種分一年為10個月﹐每月36日﹐另有5至6日為過年日的初始歷法。據《夏小正》記載﹐正月“初昏鬥柄懸在下”﹐六月“初昏鬥柄懸在上”﹐其間的五個月為半年﹔五月“時有養日”﹐十月“時有養夜”亦以五個月為半年。也有人認為﹐《夏小正》還是分一年為十二個月的太陽歷。由此看來﹐《夏小正》乃是一種不考慮月相變化的純陽歷的見解﹐這是可信的。
《尚書‧堯典》和《夏小正》的記載﹐都反映了觀象授時法的重要成果﹐同時又反映了夏代出現的兩種不同系統的歷法（陰陽歷和陽歷）的雛形。它們是由觀象授時向有一定規范的初始歷法過渡的兩種不同形態﹐都具有十分重要的意義。
2.商周歷法
由甲骨文的有關卜辭﹐我們可以知道商代行用的歷法乃是陰陽歷。
首先﹐年有平年、閏年之分﹐平年12個月﹐閏年13個月﹐閏月置於年終﹐稱十三月﹐是為年終置閏法。這時的歲首已基本固定﹐季節和月名有了基本固定的關系。但在甲骨卜辭中還偶有十四月甚至十五月的記載﹐這說明這時人們還不能較好地把握年月之間的長度關系﹐對於閏月設置的多少﹐還沒有一定之規﹐多半是由經常性的觀測來決定﹐當發現季節與月分名相悖時﹐便加進一個閏月加以調節﹐帶有較大的隨意性。這種狀況一直延續到西周。
在甲骨文中有“至日”、“南日”或“日南”的記載﹐它們指的都是冬至日（春秋時期人們還稱冬至為“日南至”）。其中有一塊卜辭說﹕“壬午卜﹐扶﹐奏丘﹐日南﹐雨﹖”（壬午這一天﹐貞人扶佔卜﹐舉行奏丘的祭儀﹐迎接太陽南至﹐會下雨嗎﹖）在《周禮‧春官‧大司樂》中則有這樣的記載﹕“冬至日﹐於地上之圜丘奏之”﹐以迎祭天神。二者說的是同一祭祀活動﹐可証“日南”即為“冬至”。這說明殷商時期已使用圭表觀測日影長度的變化﹐並由之確定冬至日﹐已知冬至日﹐一回歸年長度的數值便不難算得。
其次﹐殷商歷法是以新月為一月的開始﹐月有大月和小月﹐大月30日﹐小月29日。起初僅以大、小月相間安排歷日﹐這表明人們以為一朔望月長度等於29.5日。後來﹐更有連大月的出現﹐即在若幹個大、小月相間的月份後﹐安排兩個連續的大月﹐這証明人們已經知道﹐一朔望月的長度應略大於29.5日﹐這是對朔望月長度測算的一次重大進步﹐雖然此時對連大月的安置尚無一定的規則。
再次﹐殷商時期已明確使用幹支紀日法﹐建立起了逐日無間斷的日期記錄的系列﹐從而提供了較準確地探求月、年等更長的時間單位的重要基礎﹐同時也為歷史年代學提供了重要的依據。幹支紀日法順序循環﹐幾乎沒有中斷地連續使用到今天﹐成為世界上最長的紀日方法。
再其次﹐商代已將一天分為若幹不同的時段﹐甲骨文中可見的時段專名有﹕明（旦）、大采、大食、中日、小食、小采、昏（暮）等﹐這是一種把白晝均分為六個時段的方法。有人認為﹐把一天分為百刻的制度﹐亦自此始。
這些便是商代歷法對於年、月、日、時刻安排的大體情況﹐西周歷法與之大同小異。在金文中﹐亦有不少十三月的記載﹐並以“胐”（新月）為一月的開始﹐均為明証。但《詩‧小雅‧十月之交》有﹕“十月之交﹐朔月辛卯﹐日有食之”的記載﹐據研究﹐這當指公元前735年11月30日發生的一次食分很大的日偏食﹐這是我國典籍中關於朔日的最早記述。由此看來﹐大約在西周後期已有以朔代替胐為月首的嘗試。由於朔並無具體的天象與之對應﹐它必須在測知比較準確的朔望月長度後﹐以推算的方法求得﹐所以朔的概念的建立和應用﹐乃是歷法史上的一大進步。
此外﹐金文中經常出現初吉、既生霸、既望和既死霸四種名稱﹐對此﹐古今眾說紛紜。一為定點月相說﹐認為它們分別代表每月特定的某一天或某二三天﹐近二千年來人們多宗此說。一為四分月相說﹐認為西周時是將一個月均分為四份﹐每份約為七天﹐初吉等依次為各份的專有名稱﹐此說起於近代王國維﹐一度廣為史學界接受。本世紀四、五十年代以後﹐新說又起﹐現在有一種比較合理的解釋是﹕初吉系指初幹吉日﹐即每月上旬的吉日﹔既生霸和既死霸分別指每月的上半月和下半月﹔既望則指滿月或其後的一二天。這些解釋孰是孰非有待進一步論証。
二、春秋戰國時期歷法體系的奠基
春秋戰國時期是我國古代從奴隸制向封建制過渡的社會大變革的時代﹐這時生產力得到很大的發展﹐促使包括科學技術在內的古代文化得到長足的進步。就歷法而言﹐前進的步伐亦明晰可見﹐這主要表現在對天文現象的觀測與描述由定性向定量的轉變﹐陰陽歷的定型﹐和關於宇宙的理論的湧現等等﹐這些都為我國古代特有的歷法體系奠定了基礎。隨著周室衰微和諸侯蜂起﹐打破了由周王朝少數天文學家壟斷歷法的局面。各諸侯國由於發展農業生產以及政治上的需要﹐都極其重視歷法的研究﹐這給流散四方的疇人子弟以施展才能的良好機會。這一時期出現了一批著名的天文學家﹐“魯有梓慎（活動於公元前550年前後）﹐晉有卜偃（活動於公元前650年前後）﹐鄭有裨灶（活動於公元前500年左右）﹐宋有子韋（活動於公元前480年左右）﹐齊有甘德﹐楚有唐昧﹐趙有尹皋﹐魏有石申夫（亦名石申﹐後四人皆活動於公元前四世紀）﹐皆掌著天文﹐各論圖驗”。他們或者前後相繼﹐或者同時並立﹐在歷法界內形成了各樹一幟、百家爭鳴的局面﹐更促進了歷法的發展。
1.天文觀測的定量化與系統化
1）二十八宿系統的形成和距度的測定
二十八宿是沿天球黃、赤道帶﹐將其臨近天區劃分成28個區域的恆星區劃系統﹐其名稱依次為﹕角、亢、氐、房、心、尾、箕﹐鬥、牛、女、虛、危、室、璧﹐奎、婁、胃、昴、畢、觜、參﹐井、鬼、柳、星、張、翼、軫。1978年﹐湖北隨縣發掘的戰國早期曾侯乙墓中﹐出土有一隻漆箱蓋﹐上面繪有二十八宿的全部名稱﹐這是迄今所發現的最早的二十八宿恆星系統的完整記載。究其實﹐二十八宿作為一個完整的系統形成的年代還要早些﹐當不遲於春秋時期。據研究﹐約於公元前六世紀﹐人們已經對二十八宿各標準星之間的赤道度距（稱二十八宿距度）進行過測量﹐其數值留存在唐代的《開元佔經》一書中。二十八宿系統的建立﹐為日、月、五星以及若幹天象發生位置的確定﹐提供了一個統一的和定量化的背景依據﹐是為這一時期天文觀測定量化和系統化的重要標志之一。
2）五星觀測的數量化
春秋戰國時期﹐人們對五大行星運動的觀測與研究有了重要的進步﹐這主要表現在以下兩個方面﹕
一是對五星運動周期的測量。人們已經把行星的恆星周期（行星運行一周天所需的時間）和會合周期（行星兩次晨見東方的時間間隔）區別開來。石申和甘德都指出木星的恆星周期為12年（應為11.86年）﹐其實﹐這一認識的產生當不遲於春秋時期。石申還指出火星的恆星周期為1.9年（應為1.88年）。而甘德又測得木、金、水三星的會合期分別為400日（應為398.9日）﹐587.25日（應為583.9日）和136日（應為115.9日）。在長沙馬王堆出土的帛書《五星佔》中﹐也載有木、土和金三星的會合周期﹐依次為395.44日、377日（應為378.1日）和584.8日﹐此當為戰國末年的觀測結果﹐與甘德當年所測的精度互有短長。
二是對五星動態的定量描述。石申和甘德已發現火星和金星的逆行現象﹐他們都曾形象地用“巳”字形來描述其運行的視軌跡。在《五星佔》中則更具體地對木、土、金三星在一個會合周期內的動態作了定量描述﹐如把金星的動態分為﹕晨出東方─順行─伏─夕出西方─順行─伏─晨出東方六大階段﹐每個階段則定出所經時日與每日運行的速度﹐其中對兩次順行還定出二或三個不同的速率。這就是後世得到進一步發展的行星動態表的雛形。行星會合周期的測定和動態表的編制﹐已使得對行星位置的預報成為可能。
二十八宿距度的測定、《石氏星經》的出現﹐以及初始的行星動態度的編制等等﹐都証明春秋戰國時期業已有相應的測量儀器的出現﹐有些研究者稱之為“先秦渾儀”。雖然我們還說不清這種渾儀的具體結構﹐但它應是漢代以後日益完備的渾儀的直接祖先﹐則是勿庸置疑的。
3）二十四節氣的完備
二十四節氣是我國古代天文學家的一大創造。它曾經歷了一個十分漫長的發展過程﹐起初大約僅有二至（冬至、夏至）和二分（春分、秋分）﹐一直到戰國時期才逐漸形成完備的二十四節氣系統﹕由冬至起算﹐每經一年的1/24日交一個節氣﹐其名稱分別為冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪。此中奇數統稱為中氣﹐偶數統稱作節氣。二十四節氣分別標志著太陽在一周年運動中的二十四個大體固定的位置﹐是對太陽周年運動位置的一種特殊的描述形式﹐它們又能較好地反映一年中寒暑、雨旱、日照長短等變化的規律。所以﹐它們不但具有重要的天文意義﹐而且對於農業生產有著重大的指導作用。二十四節氣自戰國時期得以完備之後﹐一直成為我國傳統歷法的重要內容之一﹐至今在廣大農村仍有旺盛的生命力。
2.古四分歷法
春秋後期﹐產生了一種取回歸年長度為365 1/4日﹐並采用十九年七閏為閏周的歷法﹐它因回歸年長度的奇零部分為1/4日而得名為“四分歷”﹐又有別於東漢時期的四分歷﹐故通稱古四分歷。該歷的朔望月長度可由回歸年長度和閏周推得﹕十九年七閏﹐即十九年有19×12＋7＝235個朔望月﹐有19×365 1/4÷235＝29 499/940日。在此之前﹐人們並未取得如此明確的回歸年和朔望月的長度值﹐在調整兩者之間的關系時﹐也未曾尋得如此規整的閏周﹐於是在歷日的安排中﹐往往出現多閏或失閏的現象。所以﹐古四分歷的出現﹐標志著陰陽歷完成了從不穩定的、帶有某種隨意性的形態向明確的、規整的形態的過渡。
在歐洲﹐古代希臘人默冬在公元前432年所發現的閏周﹐羅馬人於公元前43年采用的儒略歷所取的回歸年長度﹐分別與古四分歷相同﹐所以﹐古四分歷的這三個基本數據在當時世界上是居於領先的地位的。
春秋戰國時期﹐各諸侯國分別使用黃帝、顓頊、夏、殷、周、魯六種歷法﹐合稱古六歷。其實﹐它們都是四分歷﹐即都采用上述三個基本天文數據﹐隻是所規定的歷法起算年份（歷元）、每年開始的月份（歲首）和每日起始的時刻有所不同而已﹐歷元不同是由於各家觀測年代的先後與觀測精度的差異造成的﹐而後二者則純屬人為的不同規定。
到戰國時期﹐古四分歷的內容日趨豐富。如它們都以為冬至時太陽位於牽牛初度﹐這說明對於太陽所處恆星間位置的推算﹐已是這時歷法的重要內容之一﹐那麼二十八宿的測定結果亦已引入歷法中﹐也當無疑問。此外﹐二十四節氣以及五星位置的推算也已是歷法的組成部分。
三、秦漢魏晉時期歷法體系的成熟
這是我國古代歷法發展的極重要時期。在先秦已經奠基的天文歷法系統的基礎上﹐這時在歷法編制、儀器制造、宇宙理論及星圖編制等方面﹐都取得長足的進步﹐形成了一個獨特的和成熟的天文歷法體系。
1.太初歷（三統歷）的編制
秦代行用古六歷之一的顓頊歷﹐到西漢初年仍沿用不改。由於顓頊歷行用已久﹐據該歷法推算的朔望日期與實際產生較大偏差﹐時有朔晦時見有新月的現象發生﹐所以要求改革歷法的呼聲漸高。漢武帝元封七年（前104年）遂詔令改定新歷。從制造儀器﹐進行實測、計算﹐到審核比較﹐最後從18家歷法中選出鄧平等人的八十一分律歷為新定歷法﹐即為太初歷。太初歷經西漢末年天文學家劉歆改造﹐遂成三統歷（公元前7年）﹐是為我國現存第一部完整的歷法﹐對後世歷法影響深遠﹐其主要進展有﹕
其一﹐以實測歷元為歷算的起始點﹐定元封七年十一月甲子朔旦冬至夜半為歷元﹐其實測精度比較高﹐如冬至時刻與理論值之差僅0.24日﹐而春秋戰國時期冬至時刻測定的誤差在2─3日之間。
其二﹐太初歷仍然以十九年七閏為閏周﹐而對於十九年中七個閏月的具體設置﹐首先發明了以不包含中氣的月份定為閏月的方法。該法不但較好地調節了回歸年和朔望月之間的關系﹐而且可以把冬至、大寒、雨水等十二個中氣與十一月、十二月、正月等月序一一對應起來﹐形成固定不變的關系﹐從而方便了生產季節的推算和應用。
其三﹐交食周期是指原先相繼出現的日月交食又一次相繼出現的時間間隔。食年是指太陽相繼兩次通過同一個黃白交點（指太陽視運動軌道與月亮運行軌道交點）的時間間隔。太初歷首次引進這兩個天文學概念﹐並定出明確的數據﹐它們是預報交食的最基本概念和數據﹐雖然其數值的誤差還較大。
其四﹐太初歷定出了新的五星會合周期﹐其精度都比戰國時期有巨大的進步。此外﹐太初歷還正確地建立了五星會合周期和五星恆星周期之間的數量關系。太初歷定出的五星在一個會合周期內的動態表﹐是我國古代保存最早、最完整的動態表﹐它遠比戰國時期的相應動態表完備和準確。更重要的是﹐在五星會合周期的測定和五星動態表編制的基礎上﹐太初歷第一次明確規定了預推五星位置的方法﹕已知自歷元到所求時日的時距﹐減去五星會合周期的若幹整數倍﹐得一余數。以此余數為引數﹐由動態表用一次內插法求得淝紗玟p怯□□艫某嗟藍染啵□純芍□逍塹奈恢謾Ｕ庖環椒ｕ某魷鄭□曛咀湃嗣嵌暈逍竊碩□芯康鬧卮蠓稍盡Ｕ庖環椒塩絛□τ玫剿宕□濟揮惺裁創□謀潿□?
太初歷所采用的回歸年和朔望月長度的精度反不如古四分歷﹐這是該歷的一個重大缺欠。
2.劉洪及其《乾象歷》
劉洪（約135─約210年）﹐字元卓﹐泰山蒙陰（今山東蒙陰縣）人﹐是東漢後期著名的天文學家。東漢伊始﹐天文學界一直十分活躍﹐關於天文歷法的論爭接連不斷﹐在月亮運動、交食周期、冬至太陽所在宿度、歷元等一系列問題上展開了廣泛的探索﹐孕育著一場新的突破。在這種歷史背景下﹐劉洪經過20多年的潛心觀測研究﹐終於在206年最後完成了他的乾象歷﹐它的出現可視作這場長期論爭的良好總結﹐是實現了新突破的標志。歸納起來﹐劉洪及其乾象歷在如下九個方面取得了重大的進展﹕
第一﹐劉洪發現以往各歷法的回歸年長度值均偏大﹐在乾象歷中﹐他定出了365.2468日的新值﹐較為準確﹐從而結束了回歸年長度測定精度長期徘徊以致倒退的局面﹐並開拓了後世該值研究的正確方向。
第二﹐他肯定了前人關於月亮運動不均勻性的認識﹐在重新測算的基礎上﹐最早明確定出了月亮兩次通過近地點的時距（近點月長度）為27.5534日的數值﹐並首創了對月亮運動不均勻進行改正計算的數值表（月離表）﹐即月亮過近地點以後每隔一日月亮的實際行度與平均行度之差的數值表﹐為計算月亮的真實運行度數提供了切實可行的方法﹐亦為我國古代該論題的傳統計算法奠定了基石。
第三﹐他指出月亮是沿自己特有的軌道（白道）運動的﹐白道與黃道之間的夾角約為6度﹐這同現今得到的測量結果已比較接近。他還定出了一個白道離黃道內外度的數值表﹐據此﹐可以計算任一時刻月亮距黃道南北的度數。
第四﹐他闡明了黃道與白道的交點在恆星背景中自東向西退行的新天文概念﹐並且定出了黃白交點每日退行的具體度值。
第五﹐他提出了新的交食周期值﹐據此可得一食年長度為346.6151日。該值比他的前人和同時代人所得值都要準確﹐其精度在當時世界上也是首屈一指的。
第六﹐他提出了食限的概念﹐指出在合朔或望時﹐隻有當太陽與黃白交點的度距小於14°33′時﹐才可能發生日食或月食現象﹐這14°33′就稱為食限﹐就是判斷交食是否發生的明確而具體的數值界限。
第七﹐他創立了具體計算任一時刻月亮距黃白交點的度距和太陽所在位置的方法。這實際上已經解決了交食食分大小及交食虧起方位等的計算問題﹐可是乾象歷對此並未加闡述。這類計算問題的明確記載則首見於楊偉的景初歷（237年）中。
第八﹐他發明有“消息術”﹐這是在計算交食發生時刻時﹐除考慮月亮運動不均勻性的影響外﹐還慮及交食發生在一年中的不同月份﹐必須加上不同的改正值的一種特殊方法﹐實際上已經考慮到太陽運動不均勻性對交食影響的問題。
第九﹐劉洪還和蔡邕一起﹐共同完成了二十四節氣太陽所在位置、黃道去極度、日影長度、晝夜時間長度以及昏旦中星的天文數據表的測算編纂工作﹐該表載於東漢四分歷中﹐後來它成為我國古代歷法的傳統內容之一。
質言之﹐劉洪提出了一系列天文新數據、新表格、新概念和新計算方法﹐把我國古代對太陽、月亮運動以及交食等的研究推向一個嶄新的階段。他的乾象歷是我國古代歷法體系趨於成熟的一個裡程碑。
3.歲差的發現和閏周的改革
所謂歲差﹐是指春分點（或冬至點）在恆星間的位置逐年西移的天文現象。在公元前二世紀﹐希臘天文學家依巴谷已經發現春分點每百年沿黃道西退1°的現象﹐我國古代最早發現類似現象的是東晉天文學家虞喜﹐他在330年左右﹐對歲差現象作了與古希臘人在形式上迥異而實質相同的表述。
在虞喜之前﹐我國古代天文學家已經發現了冬至時太陽所在恆星間的位置發生變動的情況﹐但這未導致對歲差規律的探討和總結。一直到虞喜才充分注意到實際上已為天文學界熟知的這一現象的重要天文學意義﹐並著手對歲差現象作數量化的論述。他由“日短星昴﹐以正仲冬”句推知﹐昴星於堯帝時在冬至日黃昏時中天。再由實測﹐他得知﹐當時冬至日黃昏時昴星與子午方位的偏離度值。又考知自堯帝到其時的年距。最後虞喜算得每經50年冬至點沿赤道向西移動一度的數值﹐這就是我國古代經由特殊的途徑獨立地得到的第一個歲差值﹐雖然發現年代遠遲於古希臘﹐但該值的精度已略優於依巴谷值﹐為歲差值的進一步探索開拓了新路。在此基礎上﹐虞喜“使天為天﹐歲為歲”﹐即把恆星年（太陽兩次通過同一恆星的時間間隔）與回歸年（太陽兩次通過冬至點的時間間隔）兩者區別開來﹐並為歷法有關問題計算精度的提高準備了條件。
後秦天文學家姜岌約於380年發明了月食沖法﹐其方法是在月食時測量月亮所在宿度﹐這時太陽正與月亮相差半周天度﹐於是能較準確地推知冬至時太陽所在宿度。這為後世歲差佳值的頻頻出現提供了切實有效的基本方法。
十九年七閏的閏周前後沿用達千年之久﹐到北涼趙[匪欠]的元始歷（412年）才出現了轉機。趙[匪欠]給出了600年221閏的新閏周﹐這是他對回歸年和朔望月長度認識深化的結果﹐即他對於回歸年長度應小於365.2468日﹐和朔望月長度應在29.5306日左右均深信不疑﹐而這二個天文數值絕非十九年七閏法所能協調﹐所以隻有改革舊閏周﹐方可符合他已經確認無疑的如上事實﹐別無出路。當然要邁出這一步仍需極大的勇氣。元始歷所取回歸年長度的精度較前代歷法有大幅度的提高﹐趙[匪欠]對閏周的改革正與此相輔相成﹐是一大膽的和明智的創舉。自此以後﹐新閏周輩出﹐呈現了不斷求索、改進的可喜局面。
四、南北朝隋唐五代時期歷法體系的完善
這一時期歷法發展的主要特征是﹐一系列天文數據趨於精確﹐一批新的天文現象的發現﹐歷法中的數學計算方法﹐向著嚴密化和公式化方向演進﹐這些使我國古代歷法體系從內容和形式﹐都達到了較完善的境界。
1.祖沖之及其《大明歷》
祖沖之（429─500年）﹐字文遠﹐祖籍范陽（今河北淶水縣）﹐是劉宋時期傑出的科學家。他對圓周率的研究﹐使他名聞遐邇﹐其實他對科學技術的貢獻遠非止於此﹐在天文歷法上﹐亦堪稱一大家。463年他撰成大明歷﹐內中多所創新﹐是為我國古代最著名的歷法之一。
把歲差現象首次引入歷法﹐是祖沖之的一大貢獻。由於我國古代歷法在計算日月五星的位置時﹐是以冬至太陽所在恆星間的位置作為基準點的﹐所以歲差概念和數值的引進﹐就使得這一基準點的位置得到較好的校正﹐從而使日月五星位置推算的準確度得到根本的保証。
大明歷取回歸年長度為365.2428日﹐誤差僅46秒﹐這是我國古代所用的最佳值之一。該值的取得﹐與祖沖之巧妙、正確地應用劉洪等人在173年的日影測量結果有關﹐還與祖沖之發明的冬至時刻測算法密切相關。該測算法是在測量冬至前後數日午中的日影長度的基礎上﹐並在假定這前後數日影長的變化是均勻的前提下﹐用線性比例的方法求取冬至的具體時刻﹐它嗣後成為我國古代冬至時刻的經典測算法。
在回歸年和朔望月長度精確測算的基礎上﹐祖沖之還很好地選定了十分準確的新閏周﹕391年144閏﹐這是我國古代得到的最佳閏周。
在大明歷中﹐祖沖之還第一次明確地指出了交點月（月亮相繼兩次通過同一個黃白交點的時間間隔）的長度值﹕27.2122日﹐誤差僅1秒左右﹐已達到了相當高的精度水平。
對於五星會合周期﹐祖沖之也進行了重新測量﹐得木星398.903日（誤差0.019日）﹐火星780.031日（誤差0.094日）﹐土星378.070日（誤差0.022日）﹐金星583.931日（誤差0.009日）﹐水星115.880日（誤差0.002日）﹐從總體上看﹐其精度達到了前所未有的高度。
2.張子信的三大發現
張子信﹐清河（今河北清河縣）人﹐是北魏、北齊間著名的天文學家。他花了三十多年的時間﹐隱居於一海島﹐專心致志地用渾儀觀測日月五星的運動。570年前後﹐他獲得了在我國天文學史上具有重大意義的三大發現﹕
一是關於太陽視運動不均勻性的發現。張子信由觀測得知﹕太陽視運動從平春分到平秋分（時經半年）所歷的黃道度數﹐要比從平秋分到平春分（亦時經半年）所歷度數少若幹度﹐於是﹐前半年太陽視運動的速度自然要比後半年來得慢﹐這是他導出這一發現的途徑之一。途徑之二﹐是循著與劉洪當年相似的方法達到的。張子信指出﹕欲使交食發生時刻的預推值與實際相吻合﹐除慮及月亮運動不均勻性的影響外﹐還須加上某一改正值（稱為“入氣差”）﹐該值的正負、大小與二十四節氣有密切和穩定的關系。這是劉洪“消息術”的再發現。更重要的是﹐張子信由此升華出太陽視運動不均勻性的結論﹐給予“入氣差”以合理的解釋。他還推算出了二十四節氣“入氣差”（即二十四節氣時﹐視太陽實際行度與平均行度之差）的具體數值﹐這是我國古代對太陽視運動不均勻性現象所作的最早的明確的定量描述。
二是關於五星運動不均勻性的發現。張子信發現﹐依據傳統的方法推算得的五星晨見東方的時刻﹐往往與實際天象不相符﹐常有應見而不見﹐或不應見而見的情況楷插慰嶀s□徊降目疾歟□□啡銜逍淺考□□絞笨痰惱庵殖□盎蛑禿蠹捌涫奔淶某□蹋ｕ莆□叭肫□蛹酢保□□燦□□□慕諂□薪裘艿摹10榷ｕ墓叵怠Ｕ拋有乓暈□□庹□俏逍竊碩□瘓□刃緣木嚀宸從場Ｍ□□□□餐撲慍雋宋逍嵌□□慕諂闆叭肫□蛹酢鋇拿魅肥□擔□傭□迪至宋逍竊碩□瘓□刃緣某跏嫉畝□棵枋觥?
三是關於食差的發現﹐這是關於交食研究的一大進展。張子信認識到簡單地根據傳統的食限法﹐還不能斷然判定日食發生與否﹐即在已入食限的條件下﹐如果當時月亮在黃道之北﹐則必發生日食無疑﹔而如果當時月亮在黃道之南﹐則不發生日食。這裡﹐張子信是發現了月亮視差對日食的影響。月亮視差是指在地面上的觀測者看來﹐月亮真實位置的天頂距（Z）總比視位置的天頂距（Z+△Z）來得小的一種天文現象。對日食而言﹐當月亮在黃道之北時﹐由於視差使月亮的視位置下降﹐令日月的距離更靠近﹐所以隻要入食限則必發生日食﹔而當月亮在黃道之南時﹐也由於視差使月亮的視位置下降﹐遂令日月的距離增大﹐所以即使已入食限﹐還是不發生日食。這就是張子信關於食差的發現的真實天文含義。
張子信的這三大發現都具有劃時代的意義﹐它們為天文歷法體系的完善增添了全新的內容。
3.劉焯的《皇極歷》及其他
劉焯是隋代傑出的天文學家﹐他於604年撰成皇極歷﹐後世歷家咸稱其妙。他最先把張子信的三大發現引入歷法﹐並成功地解決了這三大發現的具體計算和合理應用問題。
在皇極歷中﹐載有二十四節氣太陽視運動不均勻性改正數值表（日躔表）﹐這是流傳至今的第一份完整的日躔表﹐其前身即張子信的“入氣差”。在應用日躔表進行任一時刻的改正值的計算時﹐劉焯首創了等間距二次差內插法。這一數學方法的物理意義﹐是把某一時段內太陽視運動的速率看成是勻加速或勻減速的。這一方法較好地解決了太陽視運動不均勻性的計算問題。在這一基礎上﹐劉焯成功地解決了同時考慮日、月運動不均勻性影響的定朔計算方法﹐使真正朔日時刻的計算精度得以提高。
在皇極歷中﹐還載有五星入氣加減的數值表﹐其源由亦當來自張子信。重要的是﹐劉焯首創了推算五星晨見東方時刻的三段計算法﹕平見─常見─定見法。即先把太陽和五星的運動視作是勻速的﹐由此可算得平見時刻（T0）﹔次由五星入氣加減表求得五星運動不均勻性改正值（△t）﹐則常見時刻=T0+△t﹔再由日躔表算出太陽運動不均勻性改正值（△T）﹐於是定見時刻=T0+△t+△T.
關於日月交食的研究﹐在皇極歷中載有“推應食不食術”和“推不應食而食術”﹐這是對張子信第三大發現的具體補充和發展。此外﹐劉焯還首次提出了食差對日食食分大小的影響的具體算法﹐以及交食起訖時刻的計算方法﹐並對於交食的虧起方位作了前所未有的詳細討論。
劉焯還是黃道和白道宿度變換的首創者。他曾測得75年差一度的新歲差值﹐這是一個相當準確的數值。他對南北相距千裡﹐日影長度相差一寸的舊說﹐持反對的態度﹐並提出由實測加以驗証的具體建議。可惜這一建議連同他的皇極歷均未被采納﹐但他的科學業績卻是不可泯滅的。
和劉焯同時的另一位天文學家張胄玄﹐也吸取了張子信的工作成果﹐約於610年編成大業歷。雖然大業歷對於類似問題的處置不如皇極歷周全﹐卻也別樹一幟﹐尤其在五星運動的研究上最為突出。張胄玄測得五星會合周期分別為﹕木星398.882日（誤差0.002日）﹐火星779.926日（誤差0.011日）﹐土星378.090日（誤差0.002日）﹐金星583.922日（誤差小於0.001日）﹐水星115.879日（誤差0.001日）﹐它們是我國古代所取得的最佳成果。又﹐張胄玄對五星在一個會合周期內的動態進行描述時﹐以為在某些動態段中﹐五星的運行速率是依等差級數變化的﹐並解決了等級差數求和的問題﹐這在天文學上和數學上都是有重要意義的。
4.一行及其大衍歷
一行（683─727年）﹐魏州昌樂（今河南南樂縣）人﹐俗名張遂﹐唐代名僧﹐在天文學上有很高的造詣。公元728年﹐張說奏上一行完成的《大衍歷》。一行為編此歷﹐進行了大量的天文實測﹐並對中外歷法系統進行了深入的研究﹐在繼承傳統的基礎上﹐頗多創新。
從歷法的編次體例上看﹐共計分為七章﹕“步中朔”（計算節氣、朔望等）﹐“步發斂”（計算七十二候等）﹐“步日躔”（關於太陽運動的計算）﹐“步月離”（關於月亮運動的計算）﹐“步軌漏”（計算日影及晝夜漏刻長度）﹐“步交會”（日月交食的計算）和“步五星”（關於五星運動的計算）。它們具有結構合理、邏輯嚴密、體系完整的特點﹐後世歷法大都因之﹐成為歷法體例的楷模。從內容上考察﹐其創新之處主要有﹕
對太陽視運動不均勻性進行新的描述﹐糾正了張子信、劉焯以來日躔表的失誤﹐提出了我國古代第一份從總體規律上符合實際的日躔表。在利用日躔表進行任一時刻太陽視運動改正值的計算時﹐一行發明了不等間距二次差內插法﹐這是對劉焯相應計算法的重要發展。
一行對於五星運動規律進行了新的探索和描述﹐確立了五星運動近日點的新概念﹐明確進行了五星近日點黃經的測算工作。如他以為728年時﹐木、火和土三星的近日點黃經分別為345.1°﹐300.2°和68.3°﹐這與相應理論值的誤差分別為9.1°、12.5°和1.6°﹐此中土星近日點黃經的精度已經達到了很高的水平。一行還首先闡明了五星近日點進動的概念﹐並定出了每年進動的具體數值。在對五星運動不均勻性進行描述時﹐一行發明了五星盈縮運動的數值表﹐它是以五星近日點為起算點﹐每隔15°定出一個五星實際行度與平均行度之差的數值表格。據此﹐再應用等間距二次差內插法﹐推求任一時刻五星運動不均勻的改正值﹐這一表格和方法均較張子信等人的“入氣加減”法前進了一大步。
大衍歷還首創了九服晷漏、九服食差等的計算法。前代各歷法在計算晷漏、食差時﹐都僅局限於京都所在地﹐其結果並不適應全國廣大地區（即九服之地）的實際情況﹐所以新算法的提出﹐就把原先僅合用於京師的歷法﹐全面推廣為真正的全國性歷法﹐其意義可想而知。而且﹐在新算法中﹐還包含有一行編成的世界上最早的正切函數表﹐更具有重大的數學意義。
5.曹士蒍和邊岡等人的貢獻
曹士蒍是唐代民間天文學家。在780─783年間﹐他撰成符天歷﹐這僅是一種民間小歷﹐似不登大雅之堂﹐但實際上﹐卻在歷法史上佔有相當重要的地位。
符天歷選取唐高宗顯慶五年（660年）為歷元﹐以這種近距歷元取代傳統的上元法。所謂上元是一種理想的歷元﹐它要求一系列天文現象同起始於一點﹐這實際上是不可能的﹐強求之﹐就不能不帶有牽強附會的因素﹐而且自上元到實際求算年之間往往相距極其龐大的年份﹐所以上元法存在既使計算繁雜﹐又使計算結果失真的弊端。曹士蒍的改革﹐正是針對這種弊病采取的有效措施。又﹐傳統歷法的天文數據﹐一般均以分數表示。對此﹐曹士蒍選用了萬分法﹐即取分母為一萬﹐這既使各天文數據呈一目了然的形式﹐又使計算便捷。這兩項改革﹐後為元代授時歷所接受。
此外﹐曹士蒍開辟了歷法數值表格及其計算公式化的蹊徑。符天歷對於日躔表及太陽視運動不均勻性改正的計算進行了極重要的改革﹐建立了太陽實際運行度（V）與平均運行度（M）之間的數學關系式﹕
V－M＝1/3000（128－M）M
式中M為所求日距冬至時刻的天數﹐亦即度數。該式實質上是劉焯二次差內插法的一種特殊形式﹐它既具有計算上的簡便性﹐又具有數學上的嚴密性。它的出現是我國古代歷法體系進一步公式化、數學化的重要標志。
這種公式化、數學化的趨勢﹐在邊岡的崇玄歷（892年）中得到了極大的發展。邊岡把曹士蒍上述公式所展示的數學方法﹐明確歸結為“相減相乘”法﹐並把該法推廣應用於黃赤道宿度變換、月亮極黃緯和交食等歷法問題的計算中﹐均建立了相應的算式。不但如此﹐邊岡還首創了計算每日中午日影長度的二個三次函數式﹐把傳統的二十四節氣晷影長度表格及其每日晷長的計算公式化了。他還曾定出二個計算太陽視赤緯的算式﹐系為四次函數式﹐這就把傳統的二十四節氣太陽視赤緯表格及每日太陽視赤緯的計算公式化了。它們在天文學和數學上都具有很重要的意義。
唐代天文學家徐昂在其宣明歷（822年）中對日食計算所作的重要改進﹐也是這時天文歷法的重要事件。徐昂把月亮視差對日食的影響﹐區分為“時差”、“氣差”、“刻差”和“加差”四種﹐它們都與日食發生、節氣的先後及辰刻的早晚有關。其中﹐時差是從定朔時刻求食甚時刻的修正值﹐而後三者是對去交度（月亮與黃白交點的度距）的修正值﹐用以判斷日食發生與否以及食分大小的計算。對此﹐徐昂均提出了近似的、經驗性的計算方法。由於加差僅是一項微小的訂正﹐後世歷法均略而不計﹐於是徐昂首創的時差、氣差和刻差﹐被合稱為日食三差法﹐成為後世歷法遵循的經典方法。
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奈何風乍起﹐輒憶蓴羹鮮。
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