推 newsboy3423:好像是 應該是圓孔繞射 04/30 10:39
嗯嗯
※ 編輯: hsnuyi 來自: 220.137.188.228 (04/30 18:04)
作者 hsnuyi (羊咩咩~) 看板 Coming_EE
標題 Re: [考題] 99年微積分
時間 Fri Apr 29 19:00:57 2011
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※ 引述《tiesto1114 (Tiesto)》之銘言：
: 1. 1
: ∫((1-x^7)^(1/3)-(1-x^3)^(1/7))dx
: 0
1 1 (1-x^7)^(1/3) 1 (1-y^3)^(1/7) 1
∫(1-x^7)^(1/3) dx = ∫∫ dydx = ∫∫ dxdy = ∫(1-y^3)^(1/7) dy
0 0 0 0 0 0
所以說 原式 = 0
: 2. lim{∫([bx+a(1-x)]^n)dx)}^(1/n),b>a>0.
: n→0
[(b-a)x + a]^(n+1)
∫[(b-a)x + a]^n dx = -------------------- + c
(n+1)(b-a)
這題是不是有缺條件啊...?
: 3.一曲面x^2/4+y^2+z^2/9=3,求其在(-2,1,3)這點的tangent plane和normal line.
f(x) = x^2/4 + y^2 + z^2/9 - 3, del[f(x)] = (x/2, 2y, 2z/9)
del[f(-2,1,3)] = (-1,2,2/3) = (-3,6,2)
tangent plane: -3(x+2) + 6(y-1) + 2(z-3) = 0, 3x-6y-2z+18=0
x+2 y-1 z-3
normal line: ----- = ----- = -----
-3 6 2
: 4.一個碗裡面有水,水蒸發的速率和水面面積(就是水和空氣接觸的面積)成正比,請證明水
: 面下降的速率(水深減少的速率)為定值(和碗的形狀無關).
-dV -Adz -dz
----- = kA, ------ = kA, ----- = v = k, k為一常數
dt dt dt
: 5. ∞
: Σ (1/(1+n^2)) 是否收斂?
: n=1
1
-------
1+n^2 1
lim --------- = lim ----------- = 1, 原函數收斂
n->∞ 1 n->∞ 1
----- ----- + 1
n^2 n^2
: 6.一曲線為x^2+y^2=1及x-y+z=1的交線,而f(x,y,z)=x+2y+3z,求在曲線上f的最大值.
del(x+2y+3z) = a[del(x^2+y^2-1)] + b[del(x-y+z-1)]
1 = 2xa + b, 2 = 2ya - b, 3 = b
-1 = xa, 5/2 = ya, x = (-2/5)y
y = +-5/(29)^(1/2), x = -+2/(29)^(1/2), z = 1 +- 7/(29)^(1/2)
f(-2/(29)^(1/2), 5/(29)^(1/2), 1 + 7/(29)^(1/2)) = 3 + (29)^(1/2) = max
: 7.R為y^2=4-4x和y^2=4+4x所圍成的區域,其中y≧0,求∫∫ydA
: R
0 (4+4x)^(1/2) 1 (4-4x)^(1/2)
∫∫ydA = ∫ ∫ ydydx + ∫ ∫ ydydx = 1 + 1 = 2
R -1 0 0 0
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◆ From: 220.137.188.123
※ 編輯: hsnuyi 來自: 220.137.188.123 (04/29 19:05)
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作者 hsnuyi (羊咩咩~) 看板 Coming_EE
標題 Re: [考題] 99轉系普物
時間 Sat Apr 30 00:39:59 2011
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※ 引述《tiesto1114 (Tiesto)》之銘言：
: 1.北宜高速公路設計彎道使車子方便轉彎，若車子能承受的重力加速度G值=0.7g，則
: 在速限100km/hr的地方，應該以多大的軌道半徑設計道路?(10%)
0.7g = [(100x5/18)^2]/r, r = 112m
: 2.一彈簧裝置如如下,求其共振頻率.(15%)
: ////////////
: ──────
: § §k2
: k1 § |
: § §k3
: └┬┘
: §k4
: ┌┴┐
: │Ｍ│
: └─┘
1/k2 + 1/k3 = 1/k, k = k2k3/(k2 + k3)
k1 + k2k3/(k2 + k3) = (k1k2 + k1k3 + k2k3)/(k2 + k3) = k'
(k2 + k3)/(k1k2 + k1k3 + k2k3) + 1/k4
= (k2k4 + k3k4 + k1k2 + k1k3 + k2k3)/(k1k2k4 + k1k3k4 + k2k3k4) = 1/k''
k'' = (k1k2k4 + k1k3k4 + k2k3k4)/(k2k4 + k3k4 + k1k2 + k1k3 + k2k3)
ω = (k''/M)^(1/2)
: 3.兩個同心薄圓柱狀導體,內半徑a,外半徑b,長度為W
: (a)中間放入介電係數εa的介電物質，求電容大小(10%)
Q b Qln(b/a)
E = ----------, ∫ Edr = ---------- = V
2πrWεa a 2πWεa
Q 2πWεa
C = --- = ---------
V ln(b/a)
: (b)若a~b之間一半的空間放入εa、另一半放入εb的介電物質，求電容大小(10%)
πWεa πWεb πW(εa+εb)
C = --------- + --------- = -------------- (這樣算對嗎? 0.0)
ln(b/a) ln(b/a) ln(b/a)
: (c)若為三層同心圓柱導體內半徑a 中間層半徑c 外半徑b，a~c之間放入εb的介電
: 物質，c~b之間放入εa的介電物質，求電容大小(10%)
ln(c/a) ln(b/c) εaln(c/a) + εbln(b/c) 1
--------- + --------- = ------------------------- = ---
2πWεb 2πWεa 2πWεaεb C
2πWεaεb
C = -------------------------
εaln(c/a) + εbln(b/c)
: (請各位自行想像成圓形囉XDD)
: (a) b (b) b (c) b
: ├─────┤ ├─────┤ ├───────┤
: ┌─────┐ ┌──┬──┐ ┌───────┐
: │ │ │ │ │ │ │
: │ ┌─┐ │ │ ┌┴┐ │ │ ┌────┐ │
: │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌┐ │ │┬ a
: │ └─┘ │ │ └┬┘ │ │ │εa└┘ │ │┴
: │ εa │ │εa │εb │ │ └────┘ │
: └─────┘ └──┴──┘ │εb │
: ├─┤ ├─┤ └───────┘
: a a ├────┤
: c
: 4. (a)求P點磁場大小(P到導線最短距離為h，導線長為L，載有i的電流)(15%)
iμ0 L iLμ0
B = ------ x ------------------- = -----------------------
4πh (L^2 + h^2)^(1/2) 4πh(L^2 + h^2)^(1/2)
: (b)求Q點磁場大小(10%)
B = 0
: L
: ────── ．Q(延長線上一點)
: .P(此點於導線尾端正下方h處)
: 5.在一個厚度L(未知)的物質(折射率n)後面擺上一面鏡子，以一雷射光入射(入射角θ1\
)，
: 發現經過此物質折射>反射>折射的最後射出光線和入射點距離為d1，問如何求得L?(1\
0%)
: L
: ▕──︳
: ＿ ﹨z─┐
: │ ▕╲ │
: │ ▕ ╲︳
: d1│ ▕ ╱︳鏡子
: │ ▕╱ │
: ￣ ∕|─┘
: 入射角θ1
好難打... ><
: 6.一束雷射光波長800nm，通過直徑5μm的圓孔，在後方的屏幕上，測量到亮紋的半高寬
: 為5mm，求屏幕到圓孔的距離(10%)
5x10^(-6)x sinθ = 1.22x800x10^(-9), sinθ = 0.1952
sinθ = tanθ = 5/d = 0.1952, d = 25.61mm
話說"半高寬"是指中央亮帶(圓形)的"半徑"嗎?
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