[考題] 100學年度轉系考 微積分試題

[hsnuyi (羊咩咩~)]

題目未按照題號

1. 已知 lim f'(x) = C, 求 lim [f(x+r) - f(x)], r為一不等於零之實數
       x→∞             x→∞

Ans: rC

2.      e^(sinx) - 1
   lim --------------
  x→π    x - π

Ans: -1

3.       x
        ∫[1-tan(2t)]^(1/t) dt
         0
   lim ------------------------
  x→0             x

Ans: e^(-2)

        ∞    dx
4. 證明 ∫ -------- 發散
         2  xln(x)

Ans: 積分後原式 = ∞

5. 求|sin(x) - cos(x)|的最大值

Ans: 2^(1/2)

       dx
6. 解 ---- = 1 - t + x - xt
       dt

Ans: x = ce^[t-(t^2)/2] - 1, c為一實數

7. 在 x+y+2z=2 及 z = x^2 + y^2 的條件下, 求 (x^2+y^2+z^2)^(1/2) 的最大及最小值所發生的點

Ans: 在 (x,y,z) = (1/2,1/2,1/2) 時有最小值 [3^(1/2)]/2

     在 (x,y,z) = (-1,-1,2) 時有最大值 6^(1/2)

8. 求 r^2 = 9cos(5θ) 所圍之面積

Ans: 18

       1  1  1-y
9. 將 ∫ ∫  ∫  f(x,y,z) dzdydx 換序成 ∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz
      -1 x^2  0

      1 1-z y^(1/2)
Ans: ∫ ∫ ∫      f(x,y,z) dxdydz
      0  0 -y^(1/2)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.137.188.45
→ hsnuyi:今年90以上應該滿多人的
推 exam271:我第9題的x的範圍是-(2y+z-1)^(1/2)到+(2y+z-1)^(1/2)
→ exam271:其他都一樣
→ exam271:喔對 第7題只有問點吧?
已更正
→ hsnuyi:我只能說 第9題現在有兩個人跟我寫的一樣 對錯我不知道
推 obelisk0114:難道原PO跟我一樣是假考試真夾帶題目的學生?
→ obelisk0114:看起來之前就已經上了
→ hsnuyi:不是欸...
→ exam271:恩你對了 我概念不清 錯了
→ hsnuyi:拍拍 不過我想e大你會上的
→ steve1012:真！
推 pjb99502112:不知道他會不會看計算過程 希望能給一點分XD
→ steve1012:真！
→ steve1012:我二次方程解錯真的蠻賭爛的＝＝
推 angela21415:考完普物蠻高興的 結果微積分竟然粗心好幾題QQ
推 s516072002:第一題怎麼算呀
推 steve1012:mvt
→ s516072002:嗯嗯 微分方程是10分還15分，我好像也解錯
推 steve1012:15好像是lagrange那題
推 pjb99502112:最後一題不知配分幾分ㄟ?
→ royt:第七題有要求極質喔，印象中只有求點耶
推 steve1012:求點而已
推 s516072002:想了很久還是不解第一題和MVT的關係...
推 pjb99502112:函數質差與微分想到均值定理喔XD
→ s516072002:那應該需要x到x+r中某點的導數，但條件是給x的導數??
推 steve1012:f(x+r)-f(x) =f'(K)*r     f'(K)*r->cr  as x->infinity
※ 編輯: hsnuyi          來自: 59.117.0.46          (08/10 20:59)

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作者: hsnuyi (羊咩咩~) 看板: Coming_EE
標題: Re: [心得] 今天考完試了(普物)
時間: Fri Jul 29 20:54:38 2011

答案是靠記憶打的 有錯再說囉~

※ 引述《exam271 (Huang)》之銘言：
: 1.
: -----------------
: |       |  2k   |
: | k     ---------
: |       |  k/2  |
: -----------------
: 電池電壓 V
: 電板面積 A 相距 2d
: 求以上電容的(a) 等效電容

          9κεoA
Ans: C = ---------
            20d

:             (b) 儲存的能量

          9κεoAV^2
Ans: E = ------------
             40d

: 2.
:       \
:        \
:         0
:          \
:  ______θ \
: 一飛機以角 θ傾斜以速度 V轉彎
: 重力加速度為 g
: 機翼完全只受到氣流 垂直機翼的抬升力
: 求轉彎的半徑?

          v^2
Ans: r = -----cotθ
           g

: 3.
: (a)
:       .p
: _______________
: 求在帶電流I線外一點p的磁場
: 該線長 L
: p點垂直距線 d
: 在線的中間

          μoI          L
Ans: B = ------*-----------------
          4πd   [(L^2)/4 + d^2]

: (b)
:     ________
:    /       /
:   /       /        .P
:  /_______/
: 求帶電流I環外一點P的磁場
: 該環為半徑a之圓
: P在通過圓心的垂直軸上 距環心 z

               μoIa^2        ^
Ans: B = -------------------- k
          2(a^2 + z^2)^(3/2)

: 4.
: 一物高1.2cm在球面鏡前2cm 處
: 該鏡之半徑為 8cm
: (a)若為凹面鏡

Ans: 成像於鏡後4cm, 高為2.4cm

: (b)若為凸面鏡

Ans: 成像於鏡後4/3cm, 高為0.8cm

: 求成像的位置 及像高
: 5.
: 一衝擊擺
:         ________
:            |
:            |
:          __|__
:  o-->   |__M__|
: 子彈重 m 以速度 u 撞向該擺重 M
: (a)我們如何從撞後 擺提高的高度 H 推得 u ?

Ans: 動量守恆與機械能守恆

     M + m
u = -------(2gH)^(1/2)
       m

: (b)衝擊過程共製造出多少熱能?

            Mmu^2
Ans: E = ----------
          2(M + m)

: 6.
: 一雙狹縫 縫寬4.16μm 兩縫距19.2 μm (小數點後印象比較沒那麼深...)
: 考慮繞射的效應
: 試問在中央第一亮區共包了幾條亮紋?

這題數據有些問題... 改成這樣子好了:

缝寬4.00μm, 兩縫距19.2μm, 入射光波長400nm, 這樣子算出來就會是答案

Ans: 9條

: 7.     |   /
:        |  /
:      __θ/_______
:      |  /       |
:      | /  n     |
:      |/         |
:      |\         |
:      |_\_______ |
: 一光束以θ自空氣 射入折射率 n的介質
: 試問 n 最小須為多少才能使光線發生如圖的全反射?

Ans: n = {[sin(θi)]^2 + 1}^(1/2)