求某拋物線方程式 焦點(1,2)
和 x-y-1=0還有x+y+1=0相切
給我一個方向 > <
乾瞎
--
※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc)
◆ From: 203.203.254.211
※ 編輯: manyd 來自: 59.112.186.175 (07/02 19:32)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Tyrone (三分之一的人生) 看板: faigo-math
標題: Re: [轉錄]我遇到難題了....
時間: Wed Feb 27 07:30:17 2008
※ 引述《jujube (小花貓)》之銘言：
: 求某拋物線方程式 焦點(1,2)
: 和 x-y-1=0還有x+y+1=0相切
: 給我一個方向 > <
: 乾瞎
前面本來有一篇我po在別的地方 昶菱轉來的
但是那時匆促間沒有仔細思考
裡面有錯的地方 所以我刪了 重打一篇
===============================================================
本題由題意應屬斜拋物線的型式 故應由定義下手
但題目未告知準線方程式 故設準線為y=mx+k (m.k均為實數)
由定義可得拋物線方程式為:
＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿
√(x-1)^2+(y-2)^2 = │mx-y+k│╱√m^2+1
(1)
由於直線y=x-1與該拋物線相切 將其代入後整理可得
(m^2+2m+1)x^2+[-8m^2-2(k+1)m+(2k-6)]x+(10m^2-k^2-2k+9)=0
其判別式為 [-8m^2-2(k+1)m+(2k-6)]^2-4(m^2+2m+1)(10m^2-k^2-2k+9)=0
整理後可得 3m^4+(4k-6)m^3+(k^2-2k+3)m^2+(4k-6)m+(k^2-2k)=0......(A)
(2)
由於直線y=-x-1與該拋物線相切 將其代入後整理可得
(m^2-2m+1)x^2+[4m^2-2(k+1)m+(-2k+2)]x+(10m^2-k^2-2k+9)=0
其判別式為 [4m^2-2(k+1)m+(-2k+2)]^2-4(m^2-2m+1)(10m^2-k^2-2k+9)=0
整理後可得 3m^4+(2k-8)m^3+(-k^2+7)m^2+(2k-8)m+(-k^2+4)=0......(B)
將兩式相減:(A)-(B)並整理可得
(k+1)(m+k-2)(m^2+1)=0
由於m.k均為實數 故得k=-1 或k=2-m
(a) k=-1
代回(A)式或(B)式 並整理可得(3m-1)(m-3)(m^2+1)=0
故得m=1/3 或m=3
(但m=3不合 因為此時焦點(1,2)恰落在準線y=3x-1上 無此拋物線)
(b) k=2-m
此時準線方程式為y=mx+(2-m)
則焦點(1,2)恆坐落於該準線上 無此拋物線 故亦不合
綜上可得 k=-1 且 m=1/3
故所求之拋物線方程式為
＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿
√(x-1)^2+(y-2)^2 = │(1/3)x-y-1│╱√(1/3)^2+1
將左右同時平方並展開整理 最後可得該拋物線方程式為
9x^2+6xy+y^2-14x-58y+41=0
=================================================================
註一:符號"^2"表二次方之意 "^3"表三次方之意 依此類推
註二:本題難度等級為:學測指考保證不考
註三:BBS無法清楚表達算式 故計算過程皆省略
註四:由篇幅而言 昶菱你就可以知道為什麼我會欠這麼久了XD
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.126.67.45