※ 引述《Isaddo (我要去加簽)》之銘言：
: : 你說了再小的數字, 都沒辦法說出 x 跟 c 或者 f(x) 跟 L 有多接近...
: 我的高中老師用「隨心所欲」來解釋，我覺得很不錯耶!
對的, 說法很多...
我的這個說法是一個數學系的微積分老師用的授課法.
不過要記得, 這個是數學觀點的微積分.
以後學到了更多描述物理意義的式子...
你會發現物理用的微積分形式很不一樣.
大部分是從微觀的觀點描述一個物理模型.
最後以積分求得量化的結果...
在這種情況下, 微積分的底子要好...
否則根本就無從判斷一個微觀的物理模型合不合理.
我舉個很簡單的例子...
圓的面積是 A = π * r^2...
所以圓的週長是 dA/dr = 2πr.
而橢圓的面積是 A = πab, a 是長軸, b 是短軸.
可是橢圓的週長絕對不是 dA/dr, 也不會是 dA/da, dA/db...
為甚麼?
高中的微積分往往過於強調技巧...
很少教到這些東西...
要怎麼微分, 怎麼積分, 怎麼變數變換...
環狀積分線狀積分向量積分, 二維轉三維, 三維轉二維...
一堆展開式, 一堆逼近與轉換...
這些叫做數學技巧...
對於工科學生來說, 數學的技巧固然重要...
絕對不如物理的概念重要.
檢驗微分式的合理性, 其實我們都差不多上完了.
不過, 這才只是個開始... :)
好比萬有引力定律為甚麼近地的時候會變成 F = mg?
又好比為甚麼低速運動下, 動能可以簡單地表示成 1/2m * v^2?
更或者單擺運動, 為甚麼高中物理課本要求擺角要小?
這些微積分都有解釋, 用的往往也都只是極限的概念...
還用不到甚麼可微不可微, 可積不可積... 只是講極限而已.
當然前面這三個例子, 以你們學的可能都還不夠...
解釋萬有引力要用到幾何...
前面提到的圓與橢圓, 也是幾何的課題之一...
解釋低速運動的動能, 要用到二項式定理, 一種基本的逼近技巧.
單擺運動則是一個微分方程式, 擺角過大的時候沒有通解.
有一點很重要, 如果你是雙號班...
那麼今天孔慶華老師講到了一個很重要的想法.
技巧都是細微末節, 以後你學到的很多東西...
如果觀念不好, 那是連式子都寫不出來...
哪有現在這麼明確的東西可以微分可以積分...
囉哩囉唆講了一堆...
其實只有一件事, 把底子打好... :)
課本講的是很簡單...
不過應用起來五花八門, 保證讓人措手不及.
但是也不要緊張, 這些會讓人措手不及的東西... 考試不會考. :P
: : （雖然還有 bounded & unbounded 的概念沒提到... ）
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 我比較想知道這個說!
boundary 是邊界...
所謂 bounded 就是指一個集合裡頭的值都分佈在一定的範圍內.
好比從十公尺高丟一個球下來...
那麼球的高度 h 就是在零到十公尺之間.
所以 h 就是 bounded on [0, 10]...
如果用課本的定義來說, 把 h 寫成 h(t) = 1/2 g * t^2...
那麼 h(t) 就是 bounded on [0, 1.414].
（轉換成 t 的函數, t = 0 出發, t = 1.414 落地. ）
如果球會一直反彈, 而且系統的能量不消減...
那麼 h(t) 就是 bounded on [0, ∞).
因為球一直彈下去, 可是 h 不低於 0, 不高於 10.
邊界條件是很重要的性質.
物理模型到了邊界上, 往往會有奇特的行為.
好比前面那個例子, h(t) = 1/2 g * t^2...
在 h = 10, 也就是反彈的時候, 整個式子會變得不一樣.
所以在檢驗一個物理模型的時候, 要能夠界定出它的邊界.
從另一個角度來說, 就是這個物理模型的適用範圍.
其實我們的物理, 課堂上就已經在用這些觀念了...
好比說終端速度, v(t) 也是 bounded on [0, ∞).
相對地, 自由落體的速度就是 unbounded...
以後流體力學會講到一大堆邊界條件的應用...
到時候再來有邊讀邊, 沒邊讀中間吧.
至於 unbounded, 就是 bounded 的相反. :P
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新詩練習：新鮮。踩破初春裡的狗大便；不經意的滄桑，滿溢著嫩黃的喜悅。
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◆ From: 61.224.160.219