科目︰統計學與實習
教授︰李顯峰
試別：94上期中考
時間︰2005年11月08日
提供：數學系 傅宗襁
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試題：

注意：不必抄題目，請標示清楚題號。不可參閱任何書籍筆記，可使用計算器。

一、是非題 (先答「是」、「非」或「不確定」，未附上簡單理由說明者，不予計分。
    每小題三分，記18分。)

 1. 當一組資料中所有的資料值均為負數時，其平均數、眾數、中位數及變異數亦均是
    負值。
 2. 若一組資料均為正數時，其算數平均數會大於等於幾何平均數。
 3. 若有 A、B 兩組資料，且 A組的變異數與變異係數均大於 B組，則 A組之平均數也
    必大於 B組。
 4. 欲研究企業或某種病症患者的存活期間 (survival period)，以平均數表示較中位
    數為正確。
 5. 一組統計資料中，算數平均數為20，眾數為14，則可由 Pearson的經驗法則判斷該
    組資料的中位數小於眾數。
 6. 若 A、B 兩事件獨立，則 A、B 兩事件互斥。

二、 (10％) 周教授因學生考試成績不理想，考慮將學生成績依下列方式調整：
  (1) 每位學生成績都加10分，(2) 每位學生成績提高增加原有的10％，(3) 每位學生
  的成績都開平方根後，再乘以10。
  試問：(1) 這些方法對原始成績的中位數值會增加、減少或不變？
        (2) 何種方法使調整後的算數平均成績最高？
        (3) 何種方法使調整後學生成績彼此間的差異最小？

三、 (７％) 若標準化隨機變數 Z＝(X－μ_x)∕σ_x ，試證明：
  (1) E(Z)＝0。 (2) V(Z)＝1。

四、 (30％) 針對下列各狀況之隨機變數，分別指出其屬於何種機率分配，並寫出其機
  率函數f(.)與平均數E(.)、變異數V(.)：
  (1)  (10％) Z 為購買10張彩券中獎的彩券數 (中獎機率 0.3) 。
  (2)  (10％) 已知交通尖峰時間內，意外事件的發生率為每小時 3件，A 為在某天早
      上兩小時尖峰時間內，發生意外的次數。
          -λ  x
  (f(x)＝ｅ  λ ∕x!；x～Poisson(λ))
  (3)  (10％) 試求當某甲購買10張彩券一張都沒中，同一天早上 2小時尖峰時間內出
      現 3次意外的聯合機率 (假設這兩個事件獨立) 。
    -3           -4           -5           -6
  (ｅ ＝0.0498；ｅ ＝0.0183；ｅ ＝0.0067；ｅ ＝0.0025)

五、 (20％) 某人口袋中有一公正的銅幣與一個兩面都是正面的銅幣，今其自袋中隨意
  抽出一個來擲，結果出現正面，試問此銅幣為公正知機率為何？

六、 (15％) 比較 A國與 B國的家庭所得分配哪一國較平均，將該二國家庭首先按其可
  支配所得大小順序排列，然後分為五個等分位組，每一等分位組之戶數均相等，各占
  20％。第一等分位代表最低所得家庭；第五等分位代表最高所得家庭，如下表中所示
  。
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                    戶數五等分位      A 國      B 國
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                     第一等分位        6.6       6.1
                     第二等分位       12.7      12.7
                     第三等分位       19.4      17.4
                     第四等分位       24.2      24.3
                     第五等分位       37.1      39.5
                  ───────────────────
  試應用吉尼係數 (Gini coefficient) 比較那一國的家庭所得分配較平均。

∮完卷∮