Re: [題目] 變質量系統的功率問題

[zi98btcc (幼斤)]

※ 引述《newstring (新弦)》之銘言：
: [領域]                             (題目相關領域)
: [來源]http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=11441                             (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]有一盤曲在水平光滑桌面上的鐵鍊,每米質量2.5公斤,若將其一端沿水平方向以
: 4m/s的速度拉走,則(1)施力的功率(2)每秒鐵鍊增加的動能
: [瓶頸](1)先求施力F=v(dm/dt)=dm/dx*dx/dt*v=2.5*v2=2.5*16=40N
:                     P=FV=40*4=160W
: (2)dEk/d t= (1/2dmv2) / dt=1/2dm/dx*dx/dt*v2=1/2*2.5*v3=80J/s
: 請問:功率不就是單位時間作的功,而應該會等於單位時間增加的動能啊,為什麼差了1倍?
: 我的想法：
: 沒有被拉動的鍊子是否對被拉動的鍊子做了負功？
: 第二定律的『力』不是『合力』嗎？
: 很慚愧自己想不通，懇請板上先進賜教。
關於變質量系統的問題，都會有某流動物質速度不連續跳躍，忽略加速過程，

其實也是可以討論加速過程，想像有個加速通道，用 F=ma 這公式來計算受力，

如下圖，流動物質可以切成很多小部分質量 dm，未加速時初速 Vi，
加速完成速度 Vf，加速場 a，

     _________________________________
    (   dm     dm       dm
  Vi‧->‧     ‧       ‧--> a      ‧-> Vf
    (_________________________________

在加速通道中，流動物質受總力 F，流動物質受總功率 P，

流動物質動能改變量 dE，流動物質動能改變率 E'，

F =∫f =∫ma =∫(dm．a) =∫(m'．dt)．a = m'∫a．dt = m'∫dv = m'．(Vf-Vi)

P =∫p =∫fv =∫(dm．a)．v =∫(m'．dt)．a．v = m'∫a．v．dt = m'∫v．dv
  = 1/2．m'．(Vf^2-Vi^2)

dE =∫1/2．dm．d(v^2) = 1/2∫(m'．dt)．d(v^2) = 1/2．m'∫dt．d(v^2)

E' = dE/dt = 1/2．m'∫d(v^2) = 1/2．m'．(Vf^2-Vi^2)

比較 P、E' 這兩個是相同的，

原問題，鐵鍊的動能改變率發生在加速過程中，就是上述 E'，
加速通道中對鐵鍊作功率為上述 P，

原問題數據，m'=10kg/s Vf=4m/s Vi=0m/s ，代入
E' = P = 1/2 * 10 *(4^2 - 0^2) = 80W

至於"功率不就是單位時間作的功,應該會等於單位時間增加的動能啊,為什麼差了1倍?"

因為忘了考慮內力也有作功喔！

系統動能變化率 = 外力作功率 + 內力作功率

系統動能變化率(80W) = 外力作功率(160W) + 內力作功率(-80W) --(-80W)怎麼來的？

系統可分為A、B兩部份，正在加速的鐵鍊A，已經加速完成等速4m/s的鐵鍊B，

             40N
          -------->          B
         A         <><><><><><><><><> --------> 40N
          <--------
             40N

A為何會加速？B拉A的力(40N-->)
B為何會等速？A拉B的力(40N<--) +手拉B的力(40N-->)=0

"B拉A的力"與"A拉B的力"就是內力，內力也有作功，

"B拉A的力"作功率就是上述 P = 80W，
"A拉B的力"作功率就是 -40N * 4m/s = -160W
內力作功率 = 80W+(-160W) = -80W

回到公式        系統動能變化率 = 外力作功率 + 內力作功率
系統動能變化率 + (-內力作功率) = 外力作功率

這個(-內力作功率)也可以等價為"某種能量轉換"，

例如，車子關掉動力後為何(速度)動能會變小？
因為摩擦力作負功，或說動能轉成熱能流失。

原問題(-內力作功率)等價為什麼"某種能量轉換"？
即使是彈力位能也是複雜難以計算，大概這樣。

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◆ From: 49.158.186.133
推 Entropy1988:看起來AB之間需有相對運動，讓內力可以做功
→ Entropy1988:我個人覺得這題很好玩。我常常在做題目時，條件反射式
→ Entropy1988:地默念：「讓我們來考慮理想的條件」，想說在自己想像
→ Entropy1988:範圍外的摩擦力或者熱損耗都不會出現。但是這題非出現
→ Entropy1988:這種損耗不可，否則題目說的現象就不能實現。