Gnomonic Projection 日昝投影法

日昝投影法(Gnomonic Projection)，係透視投影之一種，係西元前六百年希臘學者德里
斯(Thales)所發明，亦說是安那克雪曼德(Anaximonder)所創製。安氏與德里斯生於同一
時代，均為希臘人，但實際利用本投影繪製地圖，乃十九世紀之事。

本投影法之基本原理係將視點置於球心以透視地球，然後將球面上之經緯線投影於外切之
投影面上，故又稱中心投影(Central Projection)。因投影面可切於球面上任意位置，故
可分為正軸、橫軸與斜軸投影法，凡投影面與南北極相切時，謂之極日昝投影(Polar
Gnomonic Projection)；投影面與赤道相切時，謂之赤道日昝投影(Equat-orial
Gnomonic Projection)；投影面切於兩極與赤道以外任意位置時，謂之水平日昝投影
(Horizontal Gnomonic Projection)。

利用本投影法繪製地圖，在切點附近面積與形狀比較正確，由此中心向外，面積與距離誤
差遂漸增大，其最大之特點為所有之大圓，投影後均為直線，故又稱大圓航線投影
(Grate Circular Projection)，常用於繪製越極越洋航線圖、無線電波圖，及地震波傳
播圖。又因恆向線(Rhumb Line)在地圖上為直線表示者僅墨卡脫投影(Mercator
Projection)，而通過兩點之大圓，投影後仍為直線者，僅日昝投影具此特性，故在航行
圖上畫定恆向線，採用日昝投影，可補墨卡脫投影之不足。

本投影法不論正軸、橫軸與斜軸，其經緯線之畫法有二：其一、為幾何作圖法，其二、為
座標展繪法。前者因受篇幅限制，此處從略。後者之計算公式茲摘要列舉如次：
一、極日昝投影之座標式為:
X=Rsinλcotφ
Y=Rcosλcotφ
自上式中消去緯度（φ），得經線 方程式Y=-Xcotλ，消去經度（λ），得緯線程式X2+Y2=R2cot2φ，由此二經緯線方程式
性質，可知極日昝投影之經線為交於一點之放射直線，其間隔相等，其傾角為經度之餘切
。緯線為一組同心圓，以經線之交點為圓心，其半徑與緯度之餘切成比例。此種投影僅適
用於高緯度地區，因低緯度地方緯線半徑逐漸增大，至赤道時則為無窮大，故常用於繪製
兩極地區的地圖。如圖一所示。

二、赤道日昝投影之座標式為：
X=Rtanλ
Y=Rtanφsec λ
由第一式可知經線為一組平行直線，其距中央經線之距離與經度（λ）之正切成比例。又
自上式消去λ，則得緯線方程式：
見圖4，或
Y2-X2tan2φ==R2tan2φ
故緯線投影後為一組雙曲線，其真軸與Y軸相合，真軸之長等於Rtanφ；虛軸與X軸相合，
其長等於R。

此種投影之特徵有四：其一、所有經線皆互相平行，並與赤道成正交。其二、經線之間的
距離，距中央經線愈遠，其距離愈大。其三、緯線除赤道為直線外，其餘均為雙曲線。其
四、經緯線投影後與中央經線東西側及中央緯線(赤道)南北側成對稱分布，故適合繪製赤
道地區的地圖，如圖二所示。

三、水平日昝投影之座標式為：
Xcotλ+Ysinβ=Rcosβ
此式若
X=0,Y=Rcoβt；若
Y=0,X=Rcosβtanλ
故經線投影後為一組直線，與Y軸相交於一點，此點距投影中心之距離為Rcotβ，經線與X
軸之交點視經度而異，此交點距投影中心之距離為Rcosβtanλ。
故緯線投影後為一組圓錐曲線，其中心在Y軸之上，當φ>90°-β時，緯線為橢圓；當φ
<90°-β時，緯線為雙曲線；當ψ=90°-β時，緯線為拋物線。本投影之使用情形如圖三
所示。（劉承洲）