Re: [問卦] 質數到底有什麼用？

[jayfrog (寫不出coding)]

: 舉例來說，(4+i)(5-i)=21+i，所以21+i就不是高斯整數裡的質數－它可以分解嘛！
: 反之，2+3i就無法分解出自身和1、-1、i、-i以外的高斯整數，所以它是「質數」。
: 正整數裡面的質數未必是高斯整數裡面的質數，比方說2是個質數，可是把2當作一個
: 高斯整數時，我們卻可以將之分解為2=(1+i)(1-i)。



這裡說一下所謂的質數跟不可分解在其實是不一樣的事。

所謂的質數是指  if p|ab then p|a or p|b

a|b 的意思就是 a 整除 b

所以用中文來說就是 如果p可以整除兩數相乘的積(ab)，那p要嘛可以整除a

要嘛可以整除b

如果可以做這件事的 p 我們才會稱為質數。

那所謂的不可分解

if a is not an unit and  a=bc then b=u or c=u  u:unit

所謂的unit 如果一個數u 存在另一個數v 使得 uv=1，那我們就說u 是一個unit

所以為什麼上面的例子會是 1 -1 i -i 的原因，因為這四個字是高斯整數裡唯四的unit

簡單來說 就是如果一個數a=bc時，如果b或c一定是unit,那我們就會說a是不可分解的。


上面那個不可分解是不是很像我們小時候學的質數概念呢？

那是因為在整數系裡，質數跟不可分解是等價的


那一個性質比較強呢？

答案是質數：

Suppose p is a prime and  p=ab => p|a or p|b   W.L.O.G.  p|a

then  a=pc so, p=pbc => bc=1, so b,c are units.

(注：W.L.O.G. 這個字在數學證明還蠻常看到的，他的意思是不失一般性。什麼叫

不失一般性呢？以上面的例子說，p要嘛整除a, 要嘛整除b。而且不論選那一個對我們

的證明影響不大，所以我們就可以不失一般性的假設p一定會整除a)


為了避免大家看不懂，簡單來說就是 質數一定不可分解


那會不會有不可分解的數 不是質數呢？

當然會有

我們先考慮 Z(√-5) 在這裡所有的數 都可以會寫成 a+b (√-5)  a,b :Z

可以把這想說是很像復數的寫法，但是i變成(√-5)

而且 a b 都要是會整數。


那在這個數系裡， 3 很明顯就是不可分解的。

但是 3不是質數 因為 3|9 這個沒問題，但是 9=(2+(√-5))(2-(√-5))

而3不會整除其中一個數， 所以從質數的定義上來說， 3在這個數系裡 不會是個質數



希望大家好眠啊

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「台灣 + 中國 = 經濟肯定會成長。我發現了一個非常漂亮的證明，

但 4 年實在太短，沒有足夠的時間容我來證明它。」

                                                  轉自  <廢馬大定理>-民明書坊

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※ 編輯: jayfrog (118.160.199.231), 03/10/2015 03:22:28
推 krishuang: 你的表達能力比Hatred差
推 Hatred: 推區分質數和不可分解。好文！
推 kinomon: 推
→ jayfrog: 這也是我要學習的地方，口語化數學不容易
推 krishuang: 寫科普文也是要訓練的
推 krishuang: 在下淺見：|符號沒有交代就跳進來
→ krishuang: u:unit 就是在這是指存在一個數v 使得 uv=1
→ krishuang: u或者unit是什麼？怎麼又跳出一個v？
→ krishuang: 只知道uv=1這個是清楚明白的
→ krishuang: W.L.O.G. 不是唸數學的也不知道
推 OK8066889: 跟我想得差不多
→ krishuang: 可以直接寫 不失一般性
謝謝krishuang大的指教
※ 編輯: jayfrog (118.160.199.231), 03/10/2015 03:43:38
→ krishuang: 我只是淺見，提出來是為了讓我自己能看懂
→ krishuang: 現在還真的有點想睡了 XDDD
→ g6m3kimo: 質數讓我射惹
推 summerleaves: 優文  長知識