Re: [問卦] 古代人是如何繪製世界地圖的？

[ex951753 (Chenghan)]

※ 引述《mobley2005 (Duncan)》之銘言：
: 以前沒有衛星、飛機這些東西
: 只能搭乘船隻航向未知的地方
: 但卻能把美洲、歐亞、非洲大陸大致的雛形繪製出來
: 至少跟現今世界地圖約有70%相似度吧
: 到底當時的人是如何畫出世界地圖呢？
: 現在想想還真是不可思議
: 有沒有八卦？

說到地圖 就不得不講幾何

想想什麼樣的課程會學到 mapping, atlas, geodesic 這種字? 就幾何麻

國小課本教你認識圖形的時候 就有說到幾何起源於埃及測量

沒錯 早年尼羅河流域與兩河(美索不達米亞)流域時常氾濫

洪水退去之後的土地重劃仰賴了大量測量技術

當時的測量不只是長度 他們已經知道重點在面積計算

先定義 1*1的正方形面積為1

往後的一切都由此推廣 還記不記得

多拿幾個正方形排起來推廣為矩形

平行四邊形跟梯形都要還原成矩形

集合了各種四邊形後 對半切就成了各種三角型

給定圓周與直徑的比例(圓周率)後

把圓沿著圓周朝圓心切成細細小小的扇形

小扇形長得很像三角形

這千千萬萬的三角形 又剛好是千千萬萬長方形的一半

千千萬萬長方形擺再一起還是一個長方形

是長方形就是正方形的推廣 所以圓面積就出來了

老師可能整天叫你算 *3.14的乘法特訓 粗心就要挨打什麼的

但其實圓面積不是很重要 教圓的目地在教角度

只是國小老師大概不會提醒大家角度在未來可以幹嘛

巴比倫人懂圓型 懂圓型就要懂角度

肉眼視差太短 無法分辨星星的遠近 於是有了天球的概念

天球是地球之外的假想黑色球型外殼 星星都掛在殼上

黃道是太陽在天球上運行的軌道 有十二個皇宮給太陽輪著住

大概360天輪一圈 於是一個圓就被切成360等份

總之 掌握國小課本 就先掌握了古代文明的知識


再來國二教相似三角型

還記不記得全等比較難 有五個口訣

ASA SAS SSS AAS 跟 ASS的特例RHS

全等你個大頭鬼啊

一個有效率的測量 絕對不可以用全等來做嘛 = =

相似才可以等比例縮放 以小來測大 測大再化小

這時候不免要問 為什麼老是專注在三角形上 不能有別的相似嗎

如果老師說 你要浪費我的時間隨便你 等下測驗卷沒過80就寫你聯絡簿

這些學生未來高達八成會變文組同學啊啊啊

木已成舟不要失去信心 大家一定要記得歷史課本中明朝末年

利瑪竇把幾何原本帶到中國來 Geometria = 地球 + 測量

取開頭Geo念起來像幾何 因此得名

如果你的老師是說 因為點線面中 三角形是最基本的面

不是有這樣的題目嗎 怎麼算多邊形的內角合? 還是拆成三角形算嘛

你也不要高興得太早 現在高達八成是死阿宅沒人愛

真心不騙 下一個階段馬上告訴你相似的重要


高一數學(非高職) 這裡還沒分組 請不要END

高一介紹了一個史上最重要的工具 三角函數

雖然大部分的人可能學得很理論

怎麼算都框在單位圓裡面轉圈圈 多說無益 請大家回想一下

除了背誦 積化合差化積 跟兩倍三倍角公式之外還做過什麼習題?

從A看C 從B看C 求C在哪裡?

從A仰望H 從B仰望H 從C仰望H 求H的高度?

把單位圓中的理論 "相似" 到實際的測量數據中

這些就是貨真價實的三角測量了

差別只在實際應用時 角度很難看 要查表算一堆小數點


複習完中學以前的知識之後

有沒有突然覺得測量地貌繪製地圖其實不會很難

所以讓我換個角度回答原PO的問題

古人繪製世界地圖會遭遇什麼障礙呢?

會了以上三角測量後 按照座標畫個地圖有這麼難嗎?

注意囉 陸地上的三角測量是局部的 至少肉眼要可見

而且古典三角測量考慮的是平面(方方正正的R^2)

大尺度要改用球面幾何 這是非常未來才有的外星科技

所以當我說三角測量 意思就是平面的三角測量


那麼大範圍的海陸都要依賴星體的方位跟仰角來定位

要知道大陸海岸的地貌 只需沿著海岸航行

有個羅盤可以定角度 再根據陸地肉眼辨識的速度來估計距離

遠洋航海術只不過是找個參考點點定位 北半球找北極星方便

找北極星是最古老最陽春的定位法 正北方不受四季變化影響

西方航海術發達 跑去殖民全世界 使得現在地圖都以北方為正位

什麼? 有不是朝北的地圖嗎!? 中國就是

小時後有看夢幻遊戲都知道 左青龍 右白虎

青龍是東方在左邊 白虎是西方在右邊 這張圖當然是朝南看的

詩經說 "聖人南面聽天下 嚮明而治"

回想歷史課本的圖片 是不是所有皇宮都座北朝南啊

朝南的原因很簡單 緯度關係 採光好 太陽崇拜

大陸上以地貌做參考點的科技門檻比海中看星星低

但是當我們有足夠曆法的知識 北斗星 織女星 各星座的亮星

都是定位的依據 從跟北極星的仰角可知南北走了多遠

怎麼知道東西向的距離呢? 第二天同一時間找另一個參考點的仰角差嘛

北極星只是推動北半球航海術 最最最古老的星火

事實上緯度越低測量越困難 南半球根本看不到北極星

不過那時候已經有密密麻麻的星圖供定位了


能定位之後 下一個重點是我們從小用到大 覺得再自然不過的事情

什麼叫做經度? 什麼叫做緯度? 再說得廣義一點 什麼叫做座標?

國中學了X-Y座標(笛卡爾的座標) 高中學了極座標 這些通通叫直角坐標

可能有些人以為只有X-Y叫直角坐標 r-θ太詭異了 不知道是什麼鬼

經緯度是在球面上使用的極座標

經度即是角度 緯度即是距離 只不過球面上的距離不是直線而已

想想每個經緯線的交會處是不是直角? 先不管這個

座標有什麼好處呢? 他是一個大家都能閱讀的語言

測量的語言統一了 馬上可以比較修正

測量的結果更精準了 繪圖的水準當然更精準

最早的經緯線要回意到征服王的年代

征服王在埃及蓋了個亞歷山大圖書館

當時可是世界的學術中心 著名的阿基米德都在那裡做研究

不過我要說的是館長 埃拉托斯特尼Eratosthenes(算地球周長的人)

這傢伙把征服王戰牛車踏平的土地畫成第一張世界地圖

那張地圖有七條直線跟六條橫線做劃分

後來搞西洋占星術的 托勒密Ptolemaios 試著改進這張圖

但是結果還是無法用來航行 SO SAD

WHY? 明明會三角測量 又有座標系統了啊!


那我們再回去看哪一句話出了問題

"怎麼知道東西向的距離呢? 第二天同一時間找另一個參考點的仰角差嘛"

什麼叫做 "第二天同一時間"?

如果我們依賴天體來測定時間 那就不能拿時間回去測量天體

舉例來說 定義這個日影/仰角 叫做4:44:44

明天同一時間4:44:44 再回來看日影/仰角差 當然沒差

所以在有精確計時裝置之前 古代人做出來的地圖還是奇形怪狀的

話說瑞士人也不是一開始就會做鐘錶

題外話 在托福閱讀測驗有一篇文章寫到

瑞士原先以珠寶響有盛名

搞宗教改革的 喀爾文Cauvin 跳出來禁止製造奢侈品

數十年間瑞士工匠們只得喝西北風

多虧法國的路易十四突然覺得天主教才是正統 境內到處取締新教

這些新教逃難者跑到日內瓦避難的時候 把鐘錶技術也帶了過去

瑞士工匠一看 挖肏! 這玩意兒才是爺們善常的嘛

總之可以看那個 麥卡托Mercator 的世界地圖

跟托勒密相隔一千四百年也沒什麼顯著的進步

越遠越變形不說 地中海很寬 中東很窄 大洋都很不大

可惜麥卡托沒能使用到阿爾卑斯山的外星科技

但是歷史課本又老愛扯麥卡托到底是怎樣?

麥卡托另有價值在投影法 投影之前我要把座標講完


好了 現在我們有準確的時間 準確的定位 還有座標的觀念

等等 地圖要求的是精確 那座標也必須精確

精確的座標可不能只是素描打打方格草稿而已

我們需要座標的數學 有厲害的座標數學 才能有厲害的座標投影

座標的故事要說到笛卡爾 就是那個用心臟線把走家教女學生的畜生

大學念原文書的時候有沒有遇過Cartesian Product?

不要END喔 這裡還是要說回中學的

有些線性代數課本可能覺得太廢了不介紹這個名詞

但是抽象代數一定有 Cartesian是從Descartes的Cartes來的

其實我們從小就會啦 X-Y平面上的(x,y)就是Cartesian Product

這一系列我們稱做 解析幾何

意思是借助方程式來研究幾何圖形 當然高次的方程式就是曲線了

這部分費瑪(最後定理的那個人)在同一時間也有所涉獵

不過費瑪反過來借助幾何圖形來研究方程式 生前沒有發表

而且成果也不如笛卡爾來得光芒萬丈 所以就鬼隱了

看到這裡各位可能很模糊 我給個具體的例子

國中都學過的 ax^2+bx+c=0 這是一個一元一次方程式

他的多項式 f(x)=ax^2+bx+c 可以放在X-Y平面上

費瑪做的事情是 把f(x)畫出來 看看有沒有通過X軸? 通過哪裡?

借助圖形的資訊來幫助他理解這個方程式有沒有解? 解在哪?

笛卡爾會先畫好幾個拋物線 看開口方向 大小 截距

然後研究a, b, c這組參數如何影響這個圖形的長相

解析幾何跟地圖有什麼關係呢?

解析幾何帶來了座標 有了座標系 那兩個人才能把微積分帶來世界上

理性 勿戰 請不要說古代文明早就會積分了

古代文明的微積分就像是上面講圓面積的算法

還不清楚什麼是無線小 什麼是極限


接下來發生的事情要知道微積分在幹嘛

但放心絕對沒有計算 想想大一微積分課本

不管是牛頓系列的 位置-時間 速度-時間 加速度-時間

還是萊布尼茲系列的 dxdy 都在解決同樣的兩個問題 切線跟面積

曲線某一點的切線怎麼畫?

你手畫的跟我手畫的一定不同 只能靠座標這個共通的語言來統一

面積到底是多少?

不管積什麼曲線的面積 曲線沒有面積啊 一定都是對著X軸去算嘛

微積分發生的一切事情都在直角坐標裡面

大一下期中考過後 大概會開始教 單/多變數向量值微積分

這裡包含了線/面/體積分 跟 多重積分的關係 商用版大概不會到這裡

那其實就是 R^n到R^m嘛 幹嘛特別去扯向量?

向量有方向 學電磁學的時候可以幫助你看散度/旋度/通量

向量還可以幹嘛? 可以做動畫啊 T, N, B Frenet frame

曲線上任一點的三個單位向量

T: unit tangent vector
N: unit normal vector
B: unit binormal vector

通過同一點 又互相線性獨立

簡直就是為該點特別架上的X-Y-Z坐標軸

Frenet formula又告訴我們怎麼透過curvature, torsion快速得到T', N', B'

知道T', N', B' 就知道T, N, B怎麼變化

知道T, N, B怎麼變化 就知道這個點下一秒要往哪個方向走

以往R^3中 要讓某物件移動 必須把整個路徑方程式寫出來

第一寫起來不容易 第二電腦也嫌計算複雜

但應用Frenet frame的話 只要從起始點去想怎麼轉彎怎麼旋轉就好

比起在R^3中憑空寫個方程式有沒有more human了

FPS(Frame Per Second):60 的F 就在這裡啦

這個單位時間的Frenet frame是這樣 下一個單位時間的Frenet frame要變怎樣

沒有Frenet 史上第一個3D動畫玩具總動員還拍不出來呢

向量微積分是進入現代微分幾何的必備武裝

有一個人在微分幾何這裡吃了大虧 叫做愛因斯坦

愛因斯坦的故事大家都不陌生 他在研究重力場方程式的時候碰到數學門檻

找念數學的同學Grossmann好好補救教學


等等 什麼又是微分幾何?

微分幾何主要研究 局部長得很像R^n 遠看歪歪 近看正正的東西

聽起來很抽象沒關係 後面再多做解釋

不如先這樣想 微分幾何研究的圖形要是可微分的

可微的感覺是軟軟滑滑的 不能有菱角

也就是隨便物體的表面必須是曲面

曲面上隨便參數化出來的曲線要可微

近代微分幾何的史祖是黎曼 又稱黎曼幾何

古典微分幾何的史祖是高斯 好像沒什麼特別名稱

這兩者有何差別呢?

黎曼觀點是平凡人觀點 活在扭曲的世界中看這世界

愛因斯坦要描述時空的扭曲 R^3裡面畫不出來

與其用更高維度的方正空間去想像時空 不如直接活在時空內吧

這是愛因斯坦主要向Grossmann請教的部分

高斯呢 則是神的觀點 不管世界歪曲扭八成什麼樣子

通通放在方方正正的神之R^n裡面 從外面來看世界的扭曲

回想向量微積分的時候 我們在R^2, R^3中考慮曲線/面

這件事情成為微分幾何發展的基石 強強強 高斯有夠強


少年宅男高斯也是有煩惱的 高斯曾經這麼想過

如果我自己就活在扭曲的世界裡 那我還能察覺世界的扭曲嗎?

後來在他四十來歲 為Hannover公國做測量工作時 解決了這個問題

簡單來說 地球表面是個微分流形 在微分幾何研究的範疇之內

回憶到前面說的 遠看歪歪 近看正正

活在地表的平凡人 很直覺地認為大地是平的嘛

直到他們獲得外星科技 突破天元親眼見證 才知道原來遠遠看是顆球呀

所以更準確來說 高斯的問題變成

如果我沒有突破世界格局的外星科技 有沒有察覺世界扭曲的手法呢?

有der 有der 高斯希望透過球面三角測量的數據來驗證球面幾何

雖然測量工具的工藝水平跟不上高斯的思想以至失敗

但研究期間 高斯還是發展了厲害的曲面投影法

這也沒辦法 地球是圓的 有了極座標的數學 在向量微積分中開始研究曲面

我們從古典的三角測量進步到更精準的球面三角測量

把大球上測量的數據 "相似" 到房裡的小球上 就是精確的地球儀了

SONO TOKI 距離完成地圖還差了最後一步 "曲面/球面的平面投影"


投影法經過千年的改良 近代裝備數學工具使其更精確

沒有任何一種投影叫做最棒的投影 端看需求選擇最適合的投影

究竟什麼是投影?

最早學到的內積 (A dot B)/|B| 可以理解成是A在B上投影的長度

這裡B是一個向量 所以是一維投影 這沒什麼用處

總之你知道 隨便一個A 都可以透過P(x)=(x dot B)/|B| 轉換成B上的東西

不管B是不是剛好X軸 總之這個長度就是B上的長度

姑且稱他為B軸 P(x)把X-Y平面上的東西 轉換到 一維的B軸上

這裡有一點感覺了吧 投影是一個座標系的變換

微積分教變數變換的時候告訴你

dx是對著X軸積 dθ是對角度積 中間怎麼過去的?

變換的過程就是把X-Y座標的東西投影到r-θ座標上

再接下來 可不可以不要對X軸積了?

可以 線積分讓你隨便對著一條曲線積

但是曲線好難啊不會算 那是不是又參數化這個曲線

經過一個變數變換 把曲線投影到直線上去計算?

那曲面積分當然也是投影回平面去做計算

學到到這裡還沒崩潰 那麼恭喜各位

一兩年後大家會碰到第一個看起來比較像地球的例子

球極平面投影Stereographic Projection

不過這不重要 他只準確在極地附近而已


最後讓我們回顧前面幾張世界地圖的投影法

托勒密用的是正軸圓錐投影

適合中緯度地區 將局部投影在附蓋北半球的圓錐上

北爛老師從小就要求我們寒暑假作業要交勞作

講錯了 這不是北爛 這是為了我們的未來做訓練

獨自完成的同學就會知道

圓錐可以攤平 平面可以組成圓錐

反過來 圓球面不能攤平 平面折不出圓球面

也就是說 這種平面投影可以把球面局部展開在扇形上

一想到二十年前的北爛勞作竟然可以幫助我鑑賞兩千年前的地圖

不禁懊悔自己當年不懂老師的用心良苦

接著我們看麥卡托 啊對了 圖請自行google啊= =

麥卡托的投影 是把整個地球(扣除兩極點)投影在直立圓柱的側面上

想像一顆球裝在罐頭裡的樣子?

球跟圓柱的差別在 球的南北方會收縮成一點 圓柱不會

所以跟球極平面投影相反 緯度越低越準 越高越失真

雖然面積朝兩極靠近會越拉越胖 好處是conformal

保持角度 角度很重要啊 關係到航向了

而且高緯度冰封地區本來就沒有航線 失真也沒關係

所以這張圖在當時的背景下才會這麼好用


麥卡托當年做的事情是把圓球投影在直立圓柱的側面上

那圓柱一定要擺直的嗎? 於是後人又推出了Transverse版

就稱他為 麥卡托地圖＊改 好了

麥卡托地圖＊改 是把地球投影在橫躺的圓柱側面上

一個是越靠近赤道越準 一個是越靠近子午線越準

兩個都保角 那躺下來有什麼好處嗎?

當然有了

一般我們看習慣 麥卡托地圖 最常有的誤解是

格林蘭超大? 俄羅斯超大?

但是在 麥卡托地圖＊改 裡面可以看到

格林蘭其實小不拉雞der 俄羅斯扣掉歐盟也沒想像中巨大

相信聰明的鄉民們都知道下一步是什麼了

地球是圓的嗎? NO 地球是個胖橢圓

終於可以說回高斯 高斯在為Hannover公國跑腿期間

仔細開發了橢圓投影的數學 高斯給了數學基礎

最後由Krueger的人完成 真＊麥卡托地圖＊改

這種將橢圓投影到橫躺圓柱的手法就稱為Gauss-Krueger projection

有GPS之後 已經沒有人傻傻去做測量了

那最大的問題就在 "橢圓的平面投影"

真＊麥卡托地圖＊改 想要更上一層樓 就必須解決在 南北/東西 極爆炸的問題

這個問題是這樣的 真＊麥卡托地圖＊改 把橢圓投影在橫躺圓柱的側面上

橫躺圓柱的側面攤開來是個長方型

兩極點是點 一個點去對應一條線!?

小時後就知道函數不可以一對多

後來有個叫Thompson的英國佬 他說 不對!

誰叫你們硬要把橢圓投影在長方形(圓柱的側面)上

看我做個修正 把橢圓投影在偽圓柱上 攤開來還是一個橢圓

兩極本應爆炸的點 剛好對應到橢圓的兩個極點

於是 真＊麥卡托地圖＊改＊ＶＥＲ－Ｔ 問世

他的好處是 等角 不用切掉兩極


再回到高斯 這段沒什麼營養 可以跳過

圓柱到底有什麼吸引力呢 非拿他做投影不可

用文組的說法是 把他攤開來就是個平面上的長方形 非常好用

用高斯的說法是 他的total curvature = 0

S: 平躺圓柱側面(open)

K(p): 在p點的gaussian curvature

K(p)=S上通過p點曲線中 最大跟最小normal curvature的乘積

S上過p點任意曲線的參數是怎麼寫? 不會 先閉眼睛冥想

就參透出 最彎的是直線 最平的是橫線

最彎的曲率跟參數化的速度以及圓柱的半徑有關 是多少? 不知道 假裝是k1

最平的曲率是多少? 千萬不要算 直線就是0 k2=0

以上在S上任意p點都適用 K(p)=k1*k2=0

所以也不用去想S的立體破洞了(一般課本是破成平面甜甜圈)

反正K(p)到處為0 那全曲率的面積分就變成

total curcature = \iint_{S} K(p) dS = 0

此時高斯可以很自豪地在S上面量出三角型的內角合等於pi

反過來說 S是由平面捲成 所以幾何性質要跟平面一樣

不像球面幾何的三角形內角合永遠大於pi

同樣圓周L 圈起來的圓 測量半徑也不會超過L/(2*pi)


有沒有不等角的地圖啊? 有

比較有名的是 Mollweide的偽圓柱等積投影

顧名思義 雖然不保角 但是面積比例相等 不會在兩極衝大大

WMAP衛星拍下全天球的宇宙微波背景輻射

最後就是用Mollweide投影法 把天球投影成平面的橢圓形照片給大家看


那有沒有不保角又不等積的地圖? 有

像是Robinson投影 跟 Winkel III投影

他們什麼性質都放棄了 只為一個目標 美觀

總之希望他不要錯得太扯 但還是要美觀

雖然不知道這樣的地圖對航行有什麼幫助 反正他就是美觀


有沒有其他的地圖? 有 我不知道

有沒有現在航行用的空圖或海圖? 有 請相關科系同學來補充 我也想知道


最後 原PO問的問題非常好

古人畫一張地圖實在不容易

很多人終其一生就這一個成就

別看高斯發展橢圓投影的數學好像很稀鬆平常一樣

他可是花了整整八年的時間做大地測量工作

請你回顧你的一生所學 全是古人燃燒靈魂的結晶

是不是剛好都在為了一張世界地圖做準備呢?

文長嘔心瀝血 希望原PO有所感觸 投入研究

《mobley2005 (Duncan)》 Ultimate Projection - 2015 霸氣登場

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之前買太多黑暗 寫文賺辛苦錢啦

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→ IanPan:羅馬在上 所以也算是南方在上的地圖 反而中國人拜斗 朝北
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推 sinnmon:
→ StubbornLin:http://0rz.tw/fMRn2 橫麥卡脫投影公式
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→ icefrog:到底是啥....我靠
推 neo5277:讚~~~看完好爽喔~~~
推 nlgomlfy:推
→ StubbornLin:之前寫程式 TWD97 轉經緯度 光看這公式看到快脫窗
→ StubbornLin:有夠複雜
推 frostmourne:這篇真的蠻難的 很多內容都是大學專門科系才會講
推 collen66:END~專業推囧~
推 jack5228:原來是這樣阿
推 roka:對不起，我沒有END，但是我PAGEDOWN了。
→ ksxo:9世紀花剌子模的伊斯蘭團隊就在利用天體畫地圖了
推 cat5672:三角形是唯一一種內角固定 邊長比例就唯一的多邊形
推 kickmeout:我看完了......
推 choudong:太厲害了 鄉民都是神人 專業推
推 alayaosu:你超強
推 yehudi:太猛了。。。
推 jojoSpirit:連按 PageDown都按不完，太厲害了。
推 ufoofetkkk:太神啦
推 cat5819:專業好文
推 crazysinger:END.......
推 famil:專業推
→ cat5672:這是三角型相似這麼重要的原因
推 r1426000000:專業給推
推 tingjj:對不起 T^T
推 st903202xp:推推xD 有夠長XD
推 Ironstick:你應該很專業 不過我END了 抱歉
推 GUYDA:認真給推  雖然我看不下...
推 kennethlin:我暈了
推 howshaw:這一篇文章值 1000 Ptt幣....
推 henry1234562:文組的看到中間應該看不下去XD
→ howshaw:暈了...@@
推 hizerg:推~看完長知識!!
推 poplc:原PO如果是我老師  林盃不會走文組了  幹
推 pdaer:...........太強了 活學活用
推 windtrex:三角函數搬到高二上了！
推 jason7086:...................
→ henry1234562:因為到TNB 那邊開始 都是微分幾何才會教
推 suzh:讚~給推~
推 VTDR128:end.....真的看不下去
→ IanPan:文組不會看不下去 因為高等數學跟科學 都是一種哲學 XD
→ perlone:原來google map這麼強大  給推
推 g4zoco196:推專業 看完想再回去讀國中數學了
推 millia62219:這就是地圖學啊XDDDDDDDDDDDDDDDDD
推 fantasibear:推推
推 popgsct:!
推 kibou:這篇也太強了   先推  明天在看  看到微分幾何那邊頭在痛了
推 lin30219:太神啦
推 hn15835163:對不起我只看了50%  (跪
推 ray90910:我突然好想重新學數學啊
推 pololo61201:...................
推 kengi1112:媽的所以我才念文組，專業推啦
推 cdfq152313:跪
→ kibou:突然想重新學數學+1
→ perlone:要是你沒解釋  我還以為地圖是google出來的
推 bt9527:雖然很宅 但是宅過頭而讓人膜拜的境界 也是挺迷人的 給推~
推 lostguy:原來數學從國小到高中甚至大學都有一貫性...超佩服原Po
推 s3748679:專業~~~
推 Rickyyy:強大給推
推 seamask:果然我是文組的料
噓 Marino:這啥
推 snowyba:超專業!!!!!!!
推 inunoya:真強者
推 Caessar:有種在看共筆的fu啊
推 bug001:我看完了，怎麼發現我是跪著的呢...
推 zumsky:好文推
推 easternpeter:拜倒
推 dearKK:我小時候只覺得數學很有趣  沒想到藏這麼多哲學
推 porter7:XDDDDDDDDDDDDDDDDD
推 coffeecocoa:哇!!好強!!
推 crazy126:超強
推 s5523000:我到底看了三小
推 b852258:長知識  推一下!
推 jwchao:強
推 Fuzishan:沙小~~~
→ BaRanKa:台灣的人型猴風地動儀等你做了
推 overall:看到國二就放棄了...也正是那年數學放棄了我
推 Automatic620:專業推
推 OK8066889:太神啦!
推 rinsoukan:辛苦你了 但我沒看完XDDD
推 jily:大推!!!
推 Mar1boro:對不起，我只看了一半就看不懂了
推 Falcone:偉哉
推 henrylinsj:推
推 peterhuo:推
→ Falcone:小學數學課本前言應該放您這篇
推 Qoood:強者
推 chris90174:太猛了，你是學數學出來的嗎？
推 qtest:專業真強者
推 lovetweet:太可怕了  你不是人
推 cjoe:太~~專~~~業~~~了~~~~啦~~~~~~~
推 suchiachi:加個摘要  就是一篇論文了
推 leotompp:只記到國中
推 sharkimage:真厲害
推 HITTEN:專業推
推 MermaidFA:好專業
推 yoogi:推專業!!
推 sleepgod0602:看到16頁之後開始速讀= =
推 proletariat:新版皇輿全覽圖就靠你了!
噓 ufae0009:寫到後面進入自嗨狀態,有用心,但不是一篇好文章
推 jengjye:推阿...中國在明朝才在開始學西元前幾何原本的知識
推 winiS:如果小時給原po教到就好了Q口Q
推 arashidream:推
推 DAVIDLONG:強~
推 wgst88w:真的寫得很好
推 davidex:推推
推 sadmonkey:好文推，發現幾何學都還給教授了XD
推 daisukiryo:看不懂O Q
推 gungunit:全看完了 頭好痛 但是還是推推
推 Danto18:我也覺得為什麼小時候的老師不是原PO這種的Q_Q
※ hatako:轉錄至某隱形看板                                         03/06 22:05
推 hightogo:太厲害了~
推 Cj3636736:厲害.....
推 carryhuang:Very good. 看的暈頭轉向，果然高手！
推 Clinkz:看到第八頁就快轉惹
推 czm:thank you
推 CILOHAKROW:數學白癡竟然也看得懂 謝謝你
推 playerscott:你好厲害~~
推 Irhhwtd:如果原PO教我數學，想必我會到理組.....原PO神人的境界...
推 chung74511:很有趣阿~把以前教的東西都總結了一下 XD
推 MSchumi:鄉民太厲害了
推 halow:有神快拜
推 HAOCHEN:寫的超棒 推!
推 Epondo:神文推！！
推 g96G69g:看完了…好強！
推 newlly:大一微積分後就跟不上了 ><
推 wangmelo:太猛了...
→ chung74511:原PO是老師嗎?如果上課這樣上一定很有趣XD
推 messfang:推!!
推 simga:靠太專業了~~~~~~
推 age0fempire3:幹，文組看完了，多次積分後面好難懂
推 yatola:強者@@  後面頭好暈看不完....
推 heavenmusic:超強！
推 rsy:介紹得很詳細~~厲害!!!
推 avgirl:水喔~~~~~~~
推 tareki:太強惹 如果只單會一兩門是寫不出來的
推 furbby:推
推 p86506:
推 Auding:神文章  快推 別讓人發現....
推 kenay:專業   看到一半  慚愧自己對數學竟然如此漠視阿...
推 ko363630:....
推 NicoRobin26:恩恩 略懂
推 kimimskimi:數學部分直接速讀XD
推 bryant1228:長知識推~不過沒看完
推 eric1990:補充一句 台灣地圖投影採用橫麥卡托投影經差二度分帶
推 jeffofpower:專業給推
推 Kobest5566:跪拜
推 Canami8663:推推
推 djyunjie:看攏唔
推 lordtsao:深入淺出
推 linhsiuwei:神
推 amethyst1101:太認真了神人推
推 bbjackson:太神了 不過我是文組的...
推 reaturn:太西洋化的問題應該是表明東方對於地圖製作沒有跟上西方
→ hwsbetty:有神快拜
推 Crazyfire:又一個神人
推 allen7043:這不推不行  高手
推 mozozo:.......太強大了...以前都不知在學甚麼XD
推 mitsurino:頭好痛啊啊
推 GJME:原PO把大家在國小到大學所學的都大致跑過一遍了！ 好妙！推！
推 aliangh:我竟然看完了 100分 要是以前老師能講這樣 我上課就會聽
推 kning:推
推 vpjack:神人！我居然看完了。
推 tzuchun0214:太威了推!! 但沒全部看懂ORZ
推 yuan0731:推
推 soulbug:看見神了..........
推 haotim2009:對不起我還是END了，腦袋已快爆炸
推 Comebuy:已跪
推 LawlietDo:看完了 八卦版都不八卦了...
推 seiyuki:我看完了!! 而且我看懂了!!(哭
推 worldtree:講的太棒了 先推在認真拜讀!!!
推 kyogoku:八年玩大地遊戲   給推
→ dixieland999:還好我只有小學畢業   直接END
推 a24606:太神啦
推 scipio211203:地理人推一個
推 o2arfish:推
推 charlyboy:END 但還是給推=.=
推 WrongHole:
推 dummy5566:我看完10頁已經覺得自己很厲害了。
推 ar109982:  。
推 tonyselina:看完才推
推 lucky96plokm:以前的我到底唸了三小…原PO太強大了…
推 jengjye:Head First Mathematics Overview
推 sonota:土木系的嗎xd
推 Kamelie:
推 ninoko12:專業推!! 但看到一半就end
推 Lasate:太神啦
推 winnietslock:是一元二次方程式啦         我真的看完了<(￣︶￣)>
推 skinnyfit:如果我高中數學老師是你 我可能就不會在文組淪落了 已哭
推 airlow:靠，也太多頁
推 kakesuzume:呼~~看完了~~閣下是球面三角學或什麼什麼幾何的師輩？
推 danmarch:科普文最高!
推 yin0416:請問你專門研究廣義相對論嗎？
推 as22133:神人給推
推 mucoci:推~雖然大多數看不懂
推 bloodmickey:趕快推推 不然人家以為我們不懂
推 ORK:你在寫論文嗎？
推 waterdisney:專業推
推 icareyou:wow
推 yoyokame:神人...
推 Ricrollp:跪著推
推 ayrtonvitas:我看完了 不是本科所以沒全看懂 但還內牛滿面
推 a02181010:到底在講啥……
推 sos01030:太神啦，有神快拜，文組，看到大一上，再從投影繼續
推 believeevery:太神啦~~~~~~~~~~~~~~~~~~
推 jack0204:我朋友問我為什麼要跪著用電腦
推 damm:這個國家沒什麼可以給你了
推 FIRZEN45:文組會說 詩經大都四個字   專業推 XDD
推 jing03:看了20分鐘
推 piggii:好厲害
推 xoox123:太長了拉 果然有30cm
推 ZXCWS:你是物理系 還數學系的
推 sodaface:看到後面就頭昏眼花了....
→ ZXCWS:座標向量電磁測地線 我猜你物理系的
推 kula18:神猛
推 TheBoyLee:神人文章，推推推
推 akirk0823:靠北 我怎麼跪著看
推 PePePeace:看完 不過有些看不懂
推 feather9298:直接給你推我實在沒有毅力看下去
推 daisylove:推!
推 OOQ:雖然專業但是看不到一半還是END....
推 qscxz:敢問閣下在哪高就? 太威惹!!!
推 memories66:看一頁就END 但是推你的專業
推 Rosefinch:超專業，推啦！
推 wind1193:神人 數學系的我跪著讀這篇
推 mengpo:好強~本來想看完的！ 後來實在是要動腦了
推 kakesuzume:不過您應該不是航海方面的？不然應該會講到-若把地球的
推 s605152002:猛!
推 gaowei1407:我也是這樣想
推 topyoung:以前老師這麼教數學就好了 哭哭
→ kakesuzume:水抽乾，地球是什麼樣子？而要在這麼一個崎曲的地形上
→ kakesuzume:測量距離是一件很困難的事...←之類的話
推 haviccy:毫猛喔
推 guanshiun:你在認真什麼拉XDDDD 不知道八卦鄉民碰到這種都看不懂嗎
推 deju:很多跨領域的數理結果 我猜是數學系的XD
推 z3728:專業推~
推 bqbq:看完了! 但還是不懂啊...等級差太多了
推 khara:強者！幾何學到靈魂了。圓柱和球面拓樸不等價，就是地圖難題
推 bbo6uis122:太專業了~不推不行!!!
推 WrongHole:看ˇ完給推!!
→ khara:另外 T' N' B' 變化率代號不解釋，外行難懂吧？
→ khara:再，雖說是開玩笑，笛卡兒幾乎可說是被強氣女瑞典女王整死
→ khara:他根本沒去把他這位學生也並不想把啊！
推 poorcharles:專業!!我們應該要尊敬這種人!!
推 Noluke:你為什麼懂那麼多？
推 ChoDino:你應該朝補教界發展！
推 vovovolibear:我居然看完了，大學數學我不行QQ
推 langeo:太屌了
推 whatzup1124:厲害
推 lin793156:有在當老師嗎?
推 JJiaK:神人! 給推!
推 a21802:一元"二"次
推 fdd545:猛
推 z09730874:有神快推
推 wahdee:有神快拜
推 yjlee0829:這篇太神啦! 原來以前學的數學都是有關聯的
→ cos810662:e04! 我居然看完整篇，可是我並非理工宅~~~~
推 ggg888:應該是數學系 不然就是政大地政系
推 erikanofann:我才打一半而已你剛好也po出來了 我就不繼續打啦~