Re: [問題] 飛鳳山真的可以看見101嗎

[evanzxcv (高密度聚乙烯)]

展望除了與能見度有關外，與地球弧度也有關係，

這就是為什麼就算天氣很好，從玉山山頂也看不到富士山的原因。

就拿原po的問題來解釋好了，把空氣能見度的因素去除，

從飛鳳山山頂看不看得到台北101呢？

作示意圖如下：

     飛鳳山
       Ｃ
 462m  |`-._ 視線
     Ａ|``-.`-._ Ｂ
       | ↑ ````/
       |   地球/弧度
       |      /
 6400  |     /
   km  |    / 6400km
       |θ /
       |--/
       | /
       |/
       Ｏ

O是地心，A是飛鳳山頂對地面的垂直投影點，

B是飛鳳山頂可以看到地面上最遠的那一點，C是飛鳳山頂。

由於BC是地球弧度的切線，因此BC與OB垂直，

而由三角函數可知，OB=OC*cos(θ)。

目前已知的是AC，也就是462m，還有OA=OB=6400km(地球半徑)。

因此6400km=(6400km+462m)*cos(θ)，要求的是θ。

整理後可得(6400km+462m)*(1-cos(θ))=462m。

利用泰勒展開，1-cos(θ) = (θ^2/2!) - (θ^4/4!) + (θ^6/6!) ....

不過我們知道θ很小，因此只要第一項就夠用了。

這樣要解的式子就變成：(6400km+462m)*(θ^2/2!) = 462m。

解出θ=0.012，以弧度為單位，也就是說，

半徑為6400km、夾角為θ的弧長是6400km*0.012 = 76.8km，

意思是從飛鳳山頂可以看到最遠76.8km的平地。

注意是"平地"而已喔，就可以看到76.8km了，

何況飛鳳山離台北101的直線距離只有53.9km，加上台北101有509.2公尺高，

理論上來說，假如中間沒有任何阻礙，飛鳳山頂看到台北101是沒有問題的。



不過怎麼知道中間有沒有阻礙呢？就要另一番計算了，

已知飛鳳山到台北101直線距離有53.9km，

因此要計算的是，53.9km的距離內，

台北101看起來會因為地球弧度的關係下降多少。

可以用剛才的式子，這次先用53.9km把θ算出來：

θ= 53.9km / 6400km = 0.00842。

(6400km+462m) * (1-cos(θ)) = 0.227km = 227m。

也就是說，從飛鳳山山頂看台北101，好像矮了227m一樣，剩下282m高。

那麼從飛鳳山到台北101直線距離中的其他障礙物(如別的山峰山脈)會矮多少呢？

根據泰勒展開，1-cos(θ)大約等於θ^2/2!，

也就是下降的高度與角度平方成正比，角度又與距離成正比，

因此可以用台北101的距離與降低的高度，照比例算出障礙物會下降多少。

先在地圖上找出飛鳳山和台北101間直線上的主要高於282m的障礙物，

幸好不多，只有龍潭到關西之間的一塊高地而已，

最高的地方是300m，離飛鳳山12.7km，

照比例計算的話，會下降227m*(12.7km/53.9km)^2 = 12.6m，

還剩下287m，比282m恰好高一點點，

這樣代表從飛鳳山看不到台北101？並不是，

因為飛鳳山並不是只有282m高，而有462m高，

比「降低後」的台北101高了180m，

也就是說，從飛鳳山看台北101，視線不是水平而是稍微俯視的，

因此可以作圖如下：

 飛鳳山
   Ｅ
     |`-._ Ｇ
     |    `-._
180m |     |  `-._
     |     |      `-._
     |     |          `-._
     |     |Ｆ            `-._
   Ｄ|`````|``````````````````Ｈ台北101
     |12.7km-----41.2km------|
     |                       |
     |-------53.9km----------|

DEH跟FGH是相似三角形，而龍潭高地距離台北101有41.2km，

因此可算出FG = 180m*(41.2km/53.9km) = 138m，

也就是說，龍潭高地最多可以比台北101高138m，還不會擋住台北101。

上面的計算已經指出，龍潭高地只比台北101高5m，

跟138m差得可遠了，因此完全不會擋住台北101。


結論就是：

飛鳳山看得到台北101！！！



順便附上一些山的山頂可以看到最遠平地的距離吧。

山名            標高    展望

飛鳳山          462m    77km
觀音山(台北)    616m    89km
七星山          1120m   120km
北插天山        1728m   149km
阿里山大塔山    2663m   185km
北大武山        3092m   199km
合歡山          3417m   209km
富士山          3776m   220km
玉山            3952m   225km
馬來西亞神山    4095m   229km
阿空加瓜山      6962m   298km
珠穆朗瑪峰      8844m   336km

玉山離中國大陸最近的地方大約有240m，
看來于右任的銅像即使還在玉山頂上，也望不到對岸的...

在玉山上差一點點就可以看到日本的與那國島。
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※ 編輯: evanzxcv        來自: 168.7.236.172        (09/28 09:59)
推 nchuhistory:本日最專業!! (雖然看不懂)
推 koming:.....真的很有心....
推 moguly:板上真是臥虎藏龍～（雖然以前數學一直被當，看不懂...）
→ moguly:如果有個數學老師這樣出題，應該會很好玩：
→ moguly:請試算飛鳳山可以看到101嗎？
推 c6966:本日最用心!!
推 CdSe:推薦這篇文章