Re: 《數學543》站在七星山看玉山

[evanzxcv (麥粒小螺絲)]

原文底下推文都沒有真正回答到問題,該是回一篇認真文的時候了 XD

我用程式跑過玉山的展望圖,在玉山頂是看不到七星山的:

http://web.mit.edu/~ypwang/maps/yushan.png

同理在七星山頂也無法看到玉山.


但如果只想知道七星山能不能看到玉山,而不想費工夫寫程式然後花一個多小時跑程式呢?

首先打開"Google地球",從七星山(海拔1120m)到玉山(海拔3952m)拉一條直線,

(Google地球的地形解析度不夠高,拿來判斷兩山頭能否對望不甚準確,

 所以用Google地球的目的只是簡易測量出兩山頭的距離)

可得知七星山與玉山直線距離為197.6km,七星山往玉山的方位角是197.8度.


檢視這條直線上,除了玉山山體本身以外,最高點在池有山跟桃山之間的稜線上,

差不多正好在從武陵登池有山跟桃山的三叉路口,

比對地形圖,此處有一座小山頭海拔3265m,距離七星山86.0km.

(由於此山頭是池有山的副峰,離池有山很近,本文之後即以"池有山"稱之.)



首先作圖計算從七星山望玉山的仰角或俯角度數:

        E
         ↘.______________________________ C 玉山頂
           :_______........-------'''''''''
         ↗|                           .'
七星山頂A  |                         .'
          B|'''`---.._             .'
           |          `-..       .'         AB = 七星山高 = 1.120 km
           |              `-.  .'
           |                 ::             CD = 玉山高 = 3.952 km
           |               .'  D
           |             .'                 BO = DO = 地球半徑 = 6371 km
           |           .'
           |         .'            θ = 地心角 = 197.6 km / 6371 km
           |       .'
           | θ  .'                   = 0.03102 弧度 = 1.777 度
           |''-.'
           | .'
           |'
          O 地心

欲計算七星山望玉山的仰角,則要先計算AE與CE的長度,再取arctan即可.

(上圖假設七星山望玉山為仰視,若計算出AE為負值,即代表俯視)

OC = CD + DO = 3.952 km + 6371 km = 6374.952 km,

OE = OC * cos(θ) = (6374.952 km) * cos(1.777度) = 6371.886 km,

OA = AB + BO = 1.120 km + 6371 km = 6372.120 km,

AE = OE - OA = 6371.886 km - 6372.120 km = -0.234 km.

CE = OC * sin(θ) = (6374.952 km) * sin(1.777度) = 197.691 km,

故七星山望玉山的仰角為: arctan(-0.234 km / 197.691 km) = -0.068度.

也就是說,七星山若能看到玉山,高度為俯視0.068度.


可以用同樣的示意圖,來計算七星山望池有山的仰角:

        H
         ↘.______________________________ F 池有山頂
           :_______........-------'''''''''
         ↗|                           .'
七星山頂A  |                         .'
          B|'''`---.._             .'
           |          `-..       .'         AB = 七星山高 = 1.120 km
           |              `-.  .'
           |                 ::             FG = 池有山高 = 3.265 km
           |               .'  G
           |             .'                 BO = GO = 地球半徑 = 6371 km
           |           .'
           |         .'            θ = 地心角 = 86.0 km / 6371 km
           |       .'
           | θ  .'                   = 0.01350 弧度 = 0.7734 度
           |''-.'
           | .'
           |'
          O 地心

欲計算七星山望池有山的仰角,則要先計算AH與FH的長度,再取arctan即可.

(上圖假設七星山望池有山為仰視,若計算出AH為負值,即代表俯視)

OF = FG + GO = 3.265 km + 6371 km = 6374.265 km,

OH = OC * cos(θ) = (6374.265 km) * cos(0.7734度) = 6373.684 km,

OA = AB + BO = 1.120 km + 6371 km = 6372.120 km,

AH = OH - OA = 6373.684 km - 6372.120 km = 1.564 km.

FH = OC * sin(θ) = (6374.265 km) * sin(0.7734度) = 86.041 km,

故七星山望玉山的仰角為: arctan(1.564 km / 86.041 km) = 1.042度.

也就是說,七星山若能看到池有山,高度為仰視1.042度.


既然七星山看玉山是俯視,七星山看同一條直線上的池有山是仰視,

這表示從七星山頂,池有山"看起來"比玉山還高,

那麼理所當然,從七星山看玉山時,玉山會被池有山擋住.

結論就是:七星山無法看到玉山。

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◆ From: 18.95.7.173
※ 編輯: evanzxcv        來自: 18.95.7.173          (06/01 08:32)
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推 ak771112:專業推!!雖然看不懂XD
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推 flonsky:太專業了!!!
推 latinboy:這是簡化版 要考慮的因素應該還有地球橢圓率 大氣折射率
→ latinboy: 不過基本上 不會差太多 XD
推 jalun:其實, 有時候大氣折射會使變量大到幾乎難以估計...
→ jalun:標準濛氣差是用算出來的標準大氣做的...最近快被它搞死 Orz
推 amjads:可否請樓上也寫一篇來供大家觀摩一番?
→ evanzxcv:這個例子算出來差異實在太大,可以完全不必考慮大氣折射..
→ evanzxcv:地球橢圓率方面,這麼小的角度範圍,也不需要考慮.
→ evanzxcv:大氣折射的一個近似法,是把地球半徑當成約7640km
→ amjads:這個例子就算不考慮地球曲率, 七星山同樣也是看不到玉山
推 wahaha2:沒想到從七星山看玉山要俯視 真是長見聞了
噓 sorceleu:山的高度單位用錯了吧,是M,所以換成0.001km
→ sorceleu:對不起,我看錯單位了
推 PsMonkey:看不懂，但是要推！
推 xhung:厲害  真是專業  學到東西了  Orz
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→ amjads:我私下有 mail 跟老師講了, 至少有三座山會擋住兩山對望
→ amjads:只看對方要不要再重刊答案了... 畢竟七星山看到玉山的烏龍,
→ amjads:實有誤導之嫌
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