作者math1209 (.......................)
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標題Re: [分析] 連續函數一題(Urysohn's Lemma)
時間Sat Nov 14 22:32:05 2009
※ 引述《k6416337 (↖煞气a光希↘)》之銘言:
: Let F be closed and G be open s.t. FㄈGㄈ|R^n.Show that there is a continuous
: f:|R^n->|R s.t.
: 0≦f(x)≦1 for all x屬於|R^n
: f(x)=1 for all x屬於F
: f(x)=0 for all x屬於|R^n\G.
: 這邊的証明是分CASE的
: 我分了(1)F≠空集合,G≠|R^n(2)F=空集合,G≠|R^n(3)F≠空集合,G=|R^n.
: 在(2)與(3),我分別定義f(x)=0跟f(x)=1
: 根據這樣定義,似乎有滿足上列的條件
: 請問我這樣定義行嗎?因為老師的解答並不是這樣做的
我懶得改了…(下面跟你上面要求的等價)
(定理 4) Let F_1, and F_2 be closed in |R^n. If F_1∩F_2=ψ, then there is a
continuous function f defined on |R^n such that 0≦f(x)≦1 and,
f(x) = 1 for x in F_1 and f(x) = 0 for x in F_2.
Proof.
d(x,F_2)
f(x):= --------------------------
d(x,F_1) + d(x,F_2)
NOTE. 對於定理 4, 我們有其一般化的結果,我們稱之為 Urysohn's Lemma.
(Urysohn's Lemma) Let F_1 and F_2 be disjoint closed sets in a normal space X.
Then there exists a continuous real-valued function on X with
0≦f(x)≦1 for all x in X, and
f(x)=1 for x in F_1 and f(x)=0 for x in F_2.
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◆ From: 220.133.4.14
推 k6416337 :你寫的這個是原課本上的証明,也就是我CASE(1)的証明 11/14 22:40
→ k6416337 :可是你並沒有證CASE(2)跟(3),老師的題目只說F是閉集 11/14 22:41
→ math1209 :你要自己改寫阿.. = = 11/14 22:49
→ math1209 :還有你的 F 與 G 不可以是 空集 與 宇集. 11/14 22:51
→ math1209 :否則題目給的結論會導致在空集上有函數值. 11/14 22:51
→ math1209 :因此, 你的 F 就是我的 F_1. 你的 |R\G = F_2. 11/14 22:52
→ k6416337 :那根據你說的,老師的解答是錯的喔?老師有分空集合喔 11/14 23:19
→ math1209 :這你本來就要自己判斷了....定義域等於空集,就不用 11/14 23:22
→ math1209 :談了... 11/14 23:23
→ k6416337 :那考試如果考這題,你會不會分? 11/14 23:27
→ math1209 :我很久沒考過試了... 11/14 23:44
→ math1209 :你自己要有判斷的能力...老師說的不一定都是對的... 11/14 23:45
推 cgkm :'for all x in an empty set' always holds =) 11/15 01:40
→ cgkm :還有 (4) F = G = 空集 但這可以併入 (2) 或 (3) 11/15 01:53