作者math1209 (ww)
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標題Re: [分析] 一題均勻收斂與一題面積分
時間Wed Mar 4 19:07:43 2009
※ 引述《k6416337 (第一次獻給了涼宮版-光希)》之銘言:
: 2.Compute the integral ∫∫(x^2)dS on the surphere S:x^2+y^2+z^2=1.
: S
我給四種方法,但有兩種大同小異。
(1) 偷懶法:
命 ∫∫(x^2) dS = A, 則 ∫∫(y^2) dS = A = ∫∫(z^2) dS
S S S
又在球面上 x^2 + y^2 + z^2 = 1. 所以
∫∫ 1 dS = ∫∫ x^2 + y^2 + z^2 dS = 3A.
S S
故 A = 1/3 .單位球之表面積 = (4π)/3.
(2) 高斯散度定理: 球面上之朝外法向量 n=a/r, a:球面上的點, r 為半徑。
欲求 ∫∫(x^2) dS, 注意到若命 F = (rx,0,0), 且取 n = (x/r,y/r,z/r)
S
則所求 = (半徑 r 為 1) = ∫∫ F.n dS
S
= ∫∫∫ div F dV by Gauss divergence Theorem,
V
= ∫∫∫ 1 dV = 單位球之體積 = (4π)/3.
V
(3) 硬幹:(注意,採右手法則:r-φ-θ) 0 ≦ φ ≦ π, 0 ≦ θ ≦ 2π.
利用球座標: x = sin φ cos θ, y = sin φ sin θ, z = cos φ. 稱
r(φ,θ) = (x(φ,θ), y(φ,θ), z(φ,θ)), 則 同 (2),
所求 = ∫∫ F.n dS
S
2π π
= ∫ ∫ [F,r_φ,r_θ] dφdθ
0 0
= (4π)/3.
NOTE. 命 A = (A_1,A_2,A_3), and so on, 則 [A,B,C] 表示
╭ A_1 A_2 A_3 ╮
det│ B_1 B_2 B_3 │
╰ C_1 C_2 C_3 ╯
(4) 硬幹:因 x^2 + y^2 + z^2 = 1, 所以 z = +(-) {1 - x^2 - y^2}^(1/2).
計算 {1 + (z_x)^2 + (z_y)^2}^(1/2) = 1/{1 - x^2 - y^2}^(1/2), 則利用
對稱與極座標,我們知道:
2π 1 r^3 (cos θ)^2
所求 = 2 ∫ ∫ ------------------ dr dθ = 2 . (2π/3) = (4π)/3.
0 0 (1 - r^2 )^(1/2)
NOTE. (3) 與 (4) 非常像,其實還有其他辦法可以作這一題,只是換湯不換藥了 =.=
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◆ From: 122.116.231.200
推 clouddeep:太強了....orz 03/04 19:19
推 k6416337:的確很強 強到我看不懂orz 我連什麼散度定理都不知 03/04 19:21
推 clouddeep:我有種以前我散度定理都亂用的感覺= = 03/04 19:27
推 jovi72:大推 03/04 20:12
→ jovi72:第一個方法實在太...強了 03/04 20:21
→ clouddeep:方法一有看過 但老是沒法自己想出來= = 03/04 20:32
→ clouddeep:這真的是很厲害的方法啊.... 03/04 20:32
→ k6416337:單位球表面積是4pi? 03/05 19:27
→ math1209:是阿~ 03/05 22:06