作者math1209 (人到無求品自高)
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標題Re: [分析] 實分析中的數學符號...
時間Wed Apr 7 20:02:32 2010
※ 引述《ericakk (我還記得)》之銘言:
: 小妹是實變的初學者..有幾個簡單的問題..請您們多包涵與指教:
:
: 1. λ 跟 μ 在運算上很類似....
:
: 請問λ 跟 μ 是差異在哪裡呢??
:
: 2. σ-additive 跟 σ-sub-additive 的差異..是不是如下:
:
: σ-additive時候:μ(∪A_n) = Σμ(A_n)
:
: σ-sub-additive時候:μ(∪A_n) ≦ Σμ(A_n)
: → ericakk :應該是你說的..outer measure vs Lebsgue measure 04/02 19:45
1. 不知道你的 λ 跟 μ 是指什麼?
2. 以下是以前整理的資料:
[Outer measure 與 measure 的差異]
μ^*: 2^Ω → [0,+∞] with (1) σ-subadditive, (2) monotone, (3) μ^*(ψ)=0.
μ : Σ → [0,+∞] with (1) σ-additive, (2) μ(ψ)=0.
(定理) 若外測度保有 finite-additive 的性質,則自動成為測度 (Caratheodory).
(測度性質)
(a) 因為定義裡有 (1), 則自動保有 monotone 的性質。
(b) 若 E_k 為可測,且 E_k↗E, 則 μ(E_k)→μ(E).
(c) 若 E_k 為可測,且 E_k↘E with μ( E_(k_0) )<+∞, 則 μ(E_k)→μ(E).
(外測度) 外測度 [不保有 σ-additive, 以及上述性質 (c)]
注意到 Lebesgue outer measure 保有 (b).
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為了方便起見,我們以 Lebesgue outer measure 來描述外測度所沒有的性質。[關於串燒
之說,請翻閱 Measure and Integral by R.L.Wheeden, and A. Zygmund 中所介紹的如何
製造不可測集合].
考慮串燒 o x
o x
o x
. .
. .
(不保有 σ-additive) there exist disjoint E_1,..,E_k,... such that
∞ ∞
μ^*(∪ E_k) < Σ μ^*(E_k).
k=1 k=1
Proof.
命 E_k 為第 k 列,則 μ^*(E_k) >0 for all k, (因每一個 E_k 都不可測).
∞ ∞ ∞
由於 ∪ E_k = [0,1), 我們有 μ^*(∪ E_k)=1 < Σ μ^*(E_k) =∞. □
k=1 k=1 k=1
(不保有 (c)) there exist A_1,..,A_k,... such that A_k↘A,
μ^*(A_k) <+∞ and lim μ^*(A_k) >μ^*(A).
k→∞
Proof.
∞
命 E_k 為第 k 列,且 A_k = ∪ E_i. 故 A_k↘ψ, ψ 為空集合。
i=k
顯然 μ^*(E_1) = μ^*(E_k) ≦ μ^*(A_k) <+∞ for each k.
因此 lim μ^*(A_k) ≧ μ^*(E_1) >0 = μ^*(ψ). □
k→∞
NOTE. 串燒這個說法,不僅僅這樣而已。還有一些有趣的數學應用…
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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推 tsaihohan :可是請你說說還有哪些有趣的數學應用嗎@@ 04/07 20:17
推 levinc :COOL~~ 04/07 20:18
推 peicachu :先推 04/07 20:19
→ math1209 :除上述外, 還有 #L = 2^c (以前有寫). 甚至還可以 04/08 03:58
→ math1209 :證明 (χ_0)^(χ_0) = χ_1. 04/08 04:00
※ 編輯: math1209 來自: 114.32.219.116 (05/01 19:07)