推 Lindemann:非常感謝ppia大大的解說,我有空再回whyT_μν是二階張量 05/22 15:32
※ 編輯: ppia 來自: 140.112.249.143 (05/22 22:35)
※ 引述《Lindemann (時空之旅計時開始)》之銘言：
: 想說直接問概念比較快,我只有學和念到Gauss-Bonnet定理而已(很久以前)
: 請教一下各位大大有關Riemann curvature和Ricci curvature的問題
: 1.在古典的微分幾何,我知道Riemann curvature的推導至少有二種
: 第一個是用協變微分來算這一點我很容易理解,因為協變微分是對一個彎曲的物體
: 算一個空間的曲率必須是要繞一個封閉的路徑才能求Riemann curvature 出來
: 所以就是 Α 走一圈的變化率
: μ
: Α = Α － Γ Α
: μ;ν μ,ν μν σ
: 二次協變微分當然就是一直照定義做了再相減可以得到Riemann curvature
: α
: Α － Α ＝ Α Ｒ
: μ;ν;σ μ;σ;ν α μνσ
: Ｒ有點複雜不打了,R是curvature tensor
: 這是我在物理書上看到的方法
: 但是我們在微分幾何的課有學到一個很類似的方法
: Gauss公式 ｋ ｋ
: → ^ →
: ｒ ＝Γ +ｂ ｎ 其中 ｒ 表示對ij微分
: ij ij ij ij
: Γ:Christoffel符號 ｂ:second fundamental form係數
: Weingarten公式
: ^ ｌｋ →
: ｎ ＝－ｂ ｇ ｒ ｒ表示對k微分
: j jｌ ｋ k
: 我們知道陳省身大師說到微分幾何裡面看到方程沒事兒就要給他微一微,
: 所以微分幾何就是一直微分呀XDD
: → →
: 然後再微分一次相減 ｒ － ｒ 這過程和結果懶得打了
: ijk ijk
: 就可以得到著名的Gauss-Codazzi方程,
: 就是first fundamental form和second fundamental form 的
: 係數 g_ij和 b_ij所滿足的曲面基本方程
: 這裡面Gauss方程式會自動emerge Riemann curvature出來
: 我們知道first fundamental form 和second fundamental form也可以知道曲面的形狀
: 請問一下這二件事情為何是一樣的?
ㄜ..如果我的解讀沒有錯的話，原po的意思是：用二階協變微分的差來看Riemann tensor
非常合理，可是為什麼恰巧Gauss方程也給出了Riemann tensor的形式?
可是歷史上的發展實際上倒過來，我們是先了解的放在三維歐式空間中的二維曲面，
曲面上某一點的曲率會被兩個垂直的方向(principle directions)上
曲線的法曲率k1,k2完全決定。Lagrange用變分法求最小曲面時發現面積一階變分
等於零的充要條件就是H = (k1+k2)/2 =0。所以，H的幾何意義大致上可以理解成
面積一階變分的度量；而K = k1k2經由Gauss map理解也非常有幾何意義，恰好K,H與
k1,k2相互決定，完全刻劃了曲面的曲率。而Gauss發現K實際上完全被g_ij決定
(Theorema Egregium)，證明基本上就是原po提到微分相減那一段。
至此我們可以說，曲面的曲率恰好被兩個值H,K--後者內蘊(被g_ij決定)而前者非--刻劃，
所以如果從Riemannian manifold的角度來說，因為我們只談論內蘊的性質，
流形並沒有被放在某個外空間中，真正的曲率只有K，而且二維時
K*(g_11g_22-g_12^2)=R_1212，K和R_ijkl的確可以被理解為互相決定。
(因為R_ijkl的對稱性和反對稱性，二維時需要R_1212就可以知道R_ijkl)
雖然這種說法有點隨便，但如果原po可以接受的話，那麼在高維度一般來說，
我們可以定義sectional curature K_ij = R_ijij/(g_ii*g_jj-g_ij^2)，
這個量可以直接理解成：沿著i,j方向展開的二維子流形的高斯曲率，
而他的分子，如果我們用invariant form來寫的話就是
<R(X,Y)Y,X> = R_ijkl*X^i*Y^j*X^k*Y^l，可以證明<R(X,Y)Z,W>實際上和
<R(X,Y)Y,X>相互決定，當然還是因為Riemann tensor有很大的對稱反對稱性，
只要部分的資訊就可以被決定了，所以K_ij和R_ijkl，一個具有很直接的幾何意義
另一個適用於計算(尤其是直接以分量計算，非invariant form的話)，互相決定，
同時構成彎曲空間的完整資訊。在幾何上，所謂的正曲率，往往指的是正的截曲率，
(K_ij>0 for all i!=j 這件事對一個座標成立的話對任何都會成立。)
相對來說因為R_ijkl是張量，我們不可能直接說"<R(X,Y)Z,W> is positive"，
舉例來說Cartan–Hadamard theorem中的非負曲率指的就是截曲率。
: 2.什麼是Ricci tensor???
: λν
: 為何Ricci tensor定義是對curvature tensor作contraction
: λν ν
: ｇ Ｒ ＝Ｒ ＝ Ｒ
: λμνρ μνρ μρ
: 他的幾何意義為何?
微分幾何中的contraction可以理解成取平均，比如說給定一個二階的對稱張量，
T(X,Y)=T(Y,X)，tr(T) = Tij*g^ij = Sum T(Ei,Ei)，其中{Ei}是在該點給定的
任意orthonormal basis。如果我們刻意取{Ei}為T的eigenbasis(T對稱)，
不難證出下面這個式子:
n n-1
Sum λ_i = tr(T) = n∫ T(X,X)dΩ / |S (1)|
i=1 n-1
S (1)
其中λ_i就是T的eigenvalues，n是流形的維度，右式的意思是說我們考慮任一方向
的X，所以積分範圍是n-1維的球面，而我們限制X的長度為1，所以限制球半徑是 1，
積分元dΩ指的就是n-1維球面的面元，右式的的意義顯然就是取平均。
如果T不對稱的話考慮U = T + T^t可以得到一樣的結果。
(澄清一下，上面的X的長度為1和S^(n-1)半徑為1看起來有點衝突，一個是流形上的度量，
另一個是我們自己引介的度量，不過因為我們取orthonormal basis所以其實不必在意。)
在很多時候我們只需要對Ricci曲率作限制就可以得到好的結果，
比如說Bonnet-Myers theorem，條件比較弱的陳述在數學上當然是好事。
(一般對Ricci curvature大小的限制指的是Ricci curvature的eigenvalues，
注意Ricci tensor對稱。)
(不過在物理上的Ricci曲率的意義我就不了解了，不知道為何 Einstein eqn 會出現
Ricci曲率，因為T_μν是二階張量這種說法實在很難接受...。)
順帶一提，scalar curvature也是Ricci curvature的平均。
: 3.Gauss-Bonnet定理曲線必須是在geodesic線上才能做嗎?
不必然，不過如果非測地線須補上一維項。
http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html
就是有k_g的那一項。
希望有回答到問題...
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