※ 引述《cactusseed (終於不愛我了..是嗎)》之銘言：
: 請問一下
: 1 √1 1 -1 √-1
: _ = ___ = √( _____) = √(_______) =________ =i
: i √-1 -1 1 √1
: 請問這個哪裡錯 Orz...........
: 還有請問要怎麼證1/i=-i
相信你的問題在 Eeon 網友的解釋下已經很清楚了,
我也說明一下我對這個問題的看法給你看看 ......
基本上就是實數完備性得到這個下面這個定理 :
For every real x>0 and every integer n>0, there is one and only one real y>0
such that y^n = x. (Rudin.p10)
接下來就把 y 定義成 n√x 這個符號或是 x^(1/n),
這是因為要把開 n 次方根看成函數,
而為什麼要把開 n 次方根看成函數 ?
因為有人想把數學都看成函數和集合 XD
接下來可以證明
(1) a,b>0 and n is a postive integer
=> (ab)^(1/n) = [a^(1/n)][b^(1/n)] (p11)
(2) m,n,p,q are integers, n,q>0, and r = m/n = p/q
=> (a^m)^(1/n) = (a^p)^(1/q) (p22)
這就建立了所謂的指數律.
而在 a<0 或 a 是複數的時候我們也會想有一樣這麼好的性質,
不過透過一些計算我們發現這無法辦到,
例如不管我們將 √-1 定義成 i 或 -i
-1 = √-1 * √-1 = √1 = 1 (?)
這無法接合我們想要的便利.
i = (-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = 1^(1/4) = 1 (?)
-i = (-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = 1^(1/4) = 1 (?)
這顯然也是亂寫一通.
而事實上上面的錯誤其實就是增根現象和我們預設在開 n 次方根上面的便利性所造成的,
因為 i 和 -i 是 -1 的兩個平方根, 而 1, -1, i, -i 是 1 的 4 個 4 次方根 ...
所以在複變上並沒有 √z 這種符號, 或者說當我們提及 √z 或是 z^(1/2),
那就是指 z 的兩個平方根.
所以諸如 (z_1)^(1/2) * (z_2)^(1/2) 這種寫法根本就是不合法的,
兩個數乘以兩個數那該怎辦 ?
而你所寫的式子在第一個等號就有問題, i = √-1 ?
好像高中似乎把 i 定義成 √-1 ? 印象中我以前高中老師也是這樣說 @@
我不熟悉高中教材倒就真的不知道為什麼了 XD
而第二個等號開始就是指數律的誤用了.
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