※ 引述《weiyulions (小鱉)》之銘言：
: 想要問一下何謂泰勒展開式阿
: 要怎麼使用阿
: 它的原理是甚麼阿
: 剛剛看到可是不知道那是啥東東
: 懇請解答..萬分感謝
含餘項的泰勒公式可看成 MVT 的推廣,
如果我們對餘項有好的估計的話, 可以把某函數寫成泰勒展開式,
也就是用很簡單的多項式函數的線性組合來表示一個函數,
這跟 Fourier series 是一樣的精神 (用三角函數的線性組合).
怎麼使用? 這很難回答 :p
原理簡單的說, 就是 MVT, 高微教本寫的頗仔細, 可以看看 Rudin
或是 Apostol 的書, 這邊簡單敘述一下泰勒定理的內容:
Let f be a function having finite nth derivative f^(n)
everywhere in an open interval (a,b) and assume that f^(n-1)
is continuous on [a,b]. Assume that c in [a,b]. Then, for
every x in [a,b] with x≠c, there exists a point x_1, interior
to the interval joining x and c such that
n-1 f^(k)(c) f^(n)(x_1)
f(x) = f(c) + Σ ---------- (x-c)^k + ------------ (x-c)^n.
k=1 k! n!
︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿(*)
(*) 的部分稱為 Lagrange reminder term, 還有其他型態的餘項,
羅列如下:
Cauchy reminder term:
f^(n+1)(c + θ(x-c))
R_n(x) = ---------------------- (1-θ)^n (x-c)^(n+1)
n!
Bernstein reminder term:
x
R_n(x) = (1/n!)∫ (x-t)^n f^(n+1)(t) dt.
c
當然啦, 除了一個變數的泰勒公式外, 也有兩個變數的泰勒公式,
n 個變數的泰勒公式. 個人常在轉學考考題中看到求近似的題目,
方法正巧都是使用兩變數的泰勒公式. 關於多變數泰勒公式, 如果沒記錯的話,
Wade 寫的不錯.
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