推 lgsfrank:哇~高手...THX^^ 140.129.67.120 06/27
推 lgsfrank:沒錯~把dy/dx 當成除法在偏微分就很怪了 140.129.67.120 06/27
推 Babbage:推一個!~ 218.187.30.76 06/27
在下才疏學淺 試著用大一微積分所具備的知識來解釋看看
※ 引述《lgsfrank (遙想)》之銘言：
: 這是他的前言(Thomas 10th) 覺得語意很矛盾 應該是我英文不好 可否解釋一下
: We sometimes use the notation dy/dx to represent the derivative of y with
: respect to x. Contrary to its appearance, it is not a ratio. We now introdeuce
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: two new variables dx and dy with the property that if their ratio exists, it
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: will be equal to the derivative.
: 1) 為什麼說dy/dx 不是ratio 呢?
因為
dy Δy
---- = lim -------------- 這是差商的極限
dx Δx->0 Δx
the difference of y is depend on x
lim Δy
而不是 ------------- Δy在這裡和Δx是彼此獨立的比值
lim Δx
這兩者在單變數時會有同樣的結論 答案
大數學家萊布尼茲使用這個符號系統
有很大的方便及暗示性 尤其是連鎖律表達
但是多變數求偏導微則可能會有不一樣的答案
把一個函數的微分當作兩個微量的相除 當作除法約來約去
是被符號誤導 以致觀念錯誤
祇是在單變數時不會產生答案錯誤而已 (以下有說明)
把多變數偏微分連鎖律 或是連乘積 當作微量相除約約看
會吃到苦頭的
: 2) 他不是說dy/dx 不是 ratio 那為什麼又說 if their ration exists 呢?
Differential 和 Difference不一樣
Differential稱為微分 dy=f'(x)dx (if導數存在 就如左式)
Difference稱為差分 Δy=y_2 -y_1
derivative稱為導數 定義為差商的極限 lim f(x+Δx)-f(x)/Δx
單變數微分的定義式 dy=f'(x)dx 更原始的樣子如下
f(x+Δx) - f(x)
limΔy = lim (-------------------- Δx)
Δx
現在....
limΔx=0 (極限存在) 且lim f(x+Δx)-f(x)/Δx存在 也就是導數存在
根據極限四則運算的性質
f(x+Δx) - f(x)
limΔy= (lim --------------------)(limΔx) 可得dy=f'(x)dx
Δx
limΔy f(x+Δx) - f(x) Δy dy
--------- = lim --------------------= lim --------- = ----
limΔx Δx Δx->0 Δx dx
上式的第一個等號 是符號系統所造成的巧合
第二個等號才是正確的觀念
所以書上說的 if their ratio exists, it will be equal to the derivative.
就是指那第一個巧合的等號
: (這部份是前言)
: 他是要定義Differentials => dy=f'(x)dx
: 謝謝回答^^
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.231.172.84
※ 編輯: yonex 來自: 61.231.172.84 (06/27 07:20)