推 glenrice:謝謝你詳細的說明 07/14 13:07
※ 引述《glenrice (爆日踢韓勦共匪 )》之銘言：
: ※ 引述《zevin (研究所要認真讀)》之銘言：
: : 其實這應該只是初微問題
: : 好像用不到均勻連續
: : 我記得瑕積分中
: : 可積的意思是(以這題為例)
: : 5
: : lim ∫ 1/x dx 這個極限值存在
: : a-->0 a
: : 顯然，上式的積分值等於ln5-lna
: : 當a趨近零時lna趨近負無窮大
: : 因此極限不存在
: : 原題目是不可積的
: 喔喔....解得漂亮..原來可以用瑕積分.
: 其實我想到這個問題,
: 最主要是想搞懂uniformly continuous 跟 continuous 的差異,
: 這樣看來 function 應該是一定得要uniformly continuous 才可積
: (或者應該說, 在閉區間內的連續,必定是uniformly continuous)
: 因為剛才littlefive指正沒有 [0+ ,5]的寫法, 而是 (0,5]
首先，當我們談到黎曼積分，(應該就是你說的柯西積分吧 @@?)
大部分的作者都是優先設定是在有界閉區間上有界的函數那我們才開始考慮，
而有些是不管函數有沒有界直接採取黎曼和的定義方式，這很少見，
當然兩者後來都是一樣的。
5
∫ 1/x dx <-- 這是暇積分，因為 1/x -> oo as x -> 0+，不能和黎曼積分混為一談，
0 當然暇積分的收斂與否和收斂值是多少依賴於 1/x 在 [a,5] 上的可積
性 (0<a≦5)，詳情在書上應該都有詳細說明。
而函數 f 在有界閉區間 [a,b] 上連續推得 f 在 [a,b] 上可積這是一個定理，
但並非函數不連續就不可積。
函數 f 在有界閉區間 [a,b] 上連續推得 f 在 [a,b] 上均勻連續這也是一個定理，
所以你前文所問的問題是同一件事。
連續你可以想成函數在一個點附近行為良好，
均勻連續可以想成函數在一個集合上行為良好 (通常是區間) :p
你可以藉由做題目來感受到這些差異，從做中學。
而給一個函數 f，它到底黎曼可不可積的問題已經被 lebesgue 完全解決了，
lebesgue's 定理是說一個函數 f 如果它不連續的點所構成的集合是 measure zero，
那他就是黎曼可積，其實精神就是把那些討厭的點以極小長度的區間蓋住。
意思就是只要 f 在 [a,b] 上不連續的點數目在我們可以容忍的範圍內，那他就是可積，
而這個容忍的臨界點就是 measure zero。
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朋友，風起了，蟬鳴了，你聽見了嗎。
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