※ 引述《PttFund (批踢踢基金只進不出)》之銘言：
: 設 f(x) 是 (a,b) 上的連續函數, lim f(x) 和 lim f(x) 均為無窮大,
: x→a+ x→b- ꄊ: b
: 且 ∫ f(x) dx 收斂, 試證明至少存在一點 ξ in (a,b), 使得
: a
: b
: ∫ f(x) dx = f(ξ)(b-a).
: a
x
由假設條件可定義 F(x) = ∫ f(t) dt for every x in (a,b)
a
且 F(a)=0 和 F(b) = L
Claim : 1. F 在 (a,b) 上可微且 F' = f
2. F 在 [a,b] 上連續
若 Claim 為真則積分均值定理 => 原命題成立
F(x+h)-F(x) x+h
----------- = (1/h) ∫ f(t) dt = (1/h)[hf(c_h)] = f(c_h) where x < c_h < x+h
h x
夾擠定理 => c_h -> x as h -> 0, 故連續性 => lim f(c_h) = f(lim c_h) = f(x)
h->0 h->0
故 F'(x) = f(x) for any x in (a,b)
x c x
F(x) = ∫ f(t) dt = ∫ f(t) dt + ∫ f(t) dt
a a c
b
-> ∫ f(t) dt = L = F(b) as x -> b-
a
故 F 在 x=b 連續, 類似地方法有 F 在 x=a 連續, 故 Claim 為真
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