[閒聊] 數學分析 (高微) 中的點集拓樸

[plover (>//////<)]

一般談到點集拓樸 (point set topology) 的時候,
會聯想到 topology 三個公設 (axioms).
但就高微應用而言, 我們並不用先知道那三個公設,
也不用從很抽象的空間開始學起.


個人主觀認為, 從 Euclidean space R^n 開始學點集拓樸,
甚至從 real line 開始學起就可以了. 就高微應用來說,
open balls, open sets 是很重要的觀念,
open sets 相對應的觀念就是局部, 一談到局部,
就會連想到 limit, continuity, derivatives,
因為這些東西在局部上就可以定義了! 那要怎麼去談 R^n 上的 open balls 呢?
假設線代有好好學 (inner product spaces), 甚至高中數學有好好學 (高二),
不難知道 R^n 的 norm 是怎麼定義的:

                            n   2
    ∥x∥ = √(x˙x) = √(  Σ x  ).
                           k=1  k

然後你就會連想到 Cauchy-Schwarz inequality, 甚至是 Bessel inequality,
Parseval's formula 也可以想起, Bessel inequality 與 Parseval's formula
是 Fourier theory 中重要內容之一. 回到主題, 一個 open ball,
會有兩個東西, 一個是球心 a = (a_1, ..., a_n), 一個是球半徑 r > 0,
我們就定義一個 open n-ball of radius r and center a

    B(a;r) = { x in R^n | ∥x-a∥ < r }.
           = { x in R^n : ∥x-a∥ < r }.

有人習慣把分格符號寫 |, 也有人喜歡寫 :, 這都不要緊.
但上面怎麼看都是抽象的定義, 我們希望能夠具體一點, 那就可以畫畫
n = 1, n = 2, n = 3 的 open balls 是長怎樣的. 在 n = 1 時,
就是常見的開區間, n = 2 時就是開圓盤, n = 3 時就是名副其實的開圓球.


有了 open ball 的觀念, 就可以談 interior point,
interior point 也是局部的東西, 細節就是: a in S < R^n is called
an interior point if there is an open n-ball with center at a,
whose points belongs to S. 這個細節也很抽象, 所以我們希望能夠具體一點,
在 n = 2 的時候, 隨意畫出一個集合 (例如 open n-ball), 然後找一點,
以這一點為圓心嘗試畫一個圓球, 讓圓球整個落在原先畫的集合裡面.
其實觀念很簡單, 不要被抽象的定義給嚇到了! 他們都是紙老虎,
毛澤東說得好:  "對付紙老虎, 我們要在戰術上重視它, 在戰略上藐視它. "


接著我們就可以走到 open sets 了! 感覺我在抄 Apostol 的第三章 O_o
沒錯我就是在抄. 說一下這一章怎麼念比較好 (主觀感覺) ,


    Section 3.1, 3.2 - 跳過, 如果以前線代有好好學的話 :p
    Section 3.3 - 點集拓樸初步, 必看!
    Section 3.4 - 先跳過.
    Section 3.5 - 講到 closed sets, 必看!
    Section 3.6 - 準備把 closed sets 的性質看的更透徹, 必看!
    Section 3.7 - 把 closed sets 與 adherent points 連在一起, 必看!
    Section 3.8 - Bolzano-Weierstrass Theorem, 重點中的重點,
                  或者說是一個門檻也行, 他的精神是數學歸納法 :p
    Section 3.9 - Cantor Intersection Theorem, 這可以看成
                  Bolzano-Weierstrass Theorem 的一個應用,
                  或看成區間套定理的一個推廣 O_o
    Section 3.10 - 開始引入 cover 的觀念, 這是很重要的觀念.
                   Lindelof covering theorem 或許是重要的定理,
                   但是這節的價值, 我覺得還是在 cover 這東西上面.
    Section 3.11 - The Heine-Borel Covering Theorem. 這個是超級重點,
    Section 3.12 - compact set 一定要會!
    Section 3.13 ... 接下來都一些小東西.


這是數學分析 (高微) 中很重要的點集拓樸知識, 可能還有一點東西我沒有補上,
但基本的你弄懂了, 剩下的部分只要再花一點時間就 ok 了 (perfect set
等等之類的東西, 但我覺得這些東西都不太重要, 哈哈, 真覺得我還挺偏激的)


以上是末學小小的心得, 歡迎大獅批評指教補充.


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