※ 引述《Cayley (水色天藍)》之銘言：
: p大要不要順便分享一軋connect:)
: 我記得我們高微課本裡好像還有個很有趣的東西
: Baire Category Theorem...@@...
: 後來在拓僕課本上它變成了一整個章節...
我覺得還是把基本的東西先補起來會比較好, 原先那篇沒有把 closed sets 給講清楚.
Baire category theorem 在拓樸上是重要的結果之一, 但就高微的學習來講,
這定理似乎沒有多大的影響力. 至於 connectness, 這就是重要的東西了!
closed sets 有許多的定義方法, 不過最簡單的方式應該是:
A set S < R^n is called closed if its complement R^n-S is open.
要提醒的一點是: 定義中 if 的意思, 就是 if and only if 的意思.
從定義中, 底下的性質應該是相當的顯然, 就好比 injective functions
與 surjective functions 的感覺. 這個性質就是
A set S < R^n is closed if, and only if, it contains all its
adherent points. (*)
性質中有講到 adherent points, 中文叫做附著點, 還有一個東西叫做
accumulation points, 聚點, 這邊都是照 Apostol 的講法, 呵呵,
照書講會比較快. Rudin 把聚點講成 limit points,
因為聚點跟 limit 的定義有很大的關係; 至於 Marsden 又換一套說法了,
cluster points, Marsden 是一本很奧妙的書, 常把一個簡單的定理寫的很廣,
但用的時候又是用在很簡單的情況, Σ的下指標也很雜亂, n, k, i 亂用,
雖然這不影響內涵, 但形式上看起來就很醜, 哈哈又岔題了.
Let S < R^n, and x in R^n, x not necessarily in S. Then x
is said to be an adherent point of S if every n-ball B(x)
contains at least one point of S.
Let S < R^n, and x in R^n, x not necessarily in S. Then x
is said to be an accumulation point of S if every n-ball B(x)
contains at least one point of S distinct from x.
這樣有看出兩個定義是不一樣的嗎? 因此 accumulation point 一定是
adherent point, 如果 x 是 adherent point, 並且 x 不在 S, 那麼 x
就是 accumulation point. 如果 x 是 adherent point, 且 x 在 S,
那麼 x 不見得是 accumulation point, 事實上, x in S 已經保證了
x 是 adherent point. 有了剛剛的解釋, 上面的 (*) 又可以改成
A set S < R^n is closed if, and only if, it contains all its
accumulation points. (**)
知道 (*) 與 (**) 之後, 就可以做很多題目了. 嗯, 有了以上的內容,
就可以理解 Bolzano-Weierstrass theorem 與 Cantor intersection theorem.
還有好多東西 O_o
先講一點 connectness. connectness 有很多講法,
不過我比較喜歡開門見山的講法, Apostol 的講法雖然也不錯,
two-valued function, 但不見得大家都知道 (或許只有 Apostol 會講吧 :)
A set S in a metric space X is said to be connected if and only
if cannot be represented as the union of two nonempty disjoint
sets neither of which contains an accumulation point of the other.
但是我們為什麼要講 connectness 與 compactness?
因為討論連續的時候, 連續函數會把 connected set 送到 connected set,
然後就有很漂亮的東西跑出來了! intermediate-value theorem!
compactness 觀念則可以引出一個很重要的內容:
緊致集上的連續函數必然是均勻連續, 這個內容在 Riemann
積分理論中十分重要: 連續函數在閉區間中必定是 Riemann 可積.
先講到這邊吧 :)
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