※ 引述《wonds (大家都在忙呀?)》之銘言：
: ※ 引述《Eeon (路邊的野狗不要踩喔)》之銘言：
: : 所以為了避免這樣的混淆,使用時,要小心了解該處到底是什麼意思,
: : 像你寫的 Z=-1 代,只是"同一個符號"同時用了"兩種定義觀點"所產生的混淆。
: : (註:如果 root(Z^2) 採用你說的 Z "or" -Z,只取一個是有問題的,
: : 因為對 Z^2 這樣一個數而言 ,也可以用(-Z)^2 去表示之。
: : 這樣就產生了我上一篇寫的 well-defined 的問題了。)
: : 重要的不是符號,而是內涵。
: : 當要把一個定義域是比較小的代數結構 推廣 定義域到大的代數結構時...
: : 要注意定義的問題,而不是隨便依靠在小結構上的經驗,就直接含糊,說不清地推廣定義上去..
: : ex:你所提到的那個 nature log。
: : 不能說,看到 e^ix 跟原來一般的指數函數 e^x 樣子很像。
: : 而 log e^x = x. 然後就直接 log e^ix =ix 這樣塞上去。
: 意思是說當沒說清楚x的定義域之前
呃..我的意思是...在用一個函數時...要先定義好..
確定這樣的操作"有意義",不會造成混淆...
像 log 這個函數, 一開始高中學的只是單純的 log x ,x屬於R 這樣的東西..
要拿來對一個複數 (e^(ix)=cosx+isinx) 來取 log,
要先把相關的定義弄好,確定是well-defined之後,再來操作,才不會發生問題...
我不是學物理的..所以log e^(ix) ..我並不是很了解相關的系統和一些操作...
當然...如果 log e^(ix) 這已經成為物理教科書的一部分的話..
代表使用上,相關的邏輯問題,或者操作體系,已經有一定的完備了..
我想你把書拿出來找到 定義的部分..把她看清楚..當初介紹這符號的時候是怎麼定的..
應該可以解決你的疑問..
: if y=e^ix =/=> ln[y]= ix 是嗎?
如果在實數系的話, 我們是先把 e^x 和 log x 定義好,
然後再說明 log (e^x) 會剛好就等於 x ..
所以如果現在要做類似的事情的話,一樣要先把 log (Z) 定義好..
定義的時候,就會有怎樣定才會"well-defined",才不會混淆 的問題產生..
等這些定義的問題都解決後,我們才能再考慮
在複數系的話 log (e^ix) 會不會剛好就等於真數的指數部分: ix 。
當然為了使這個"美好"的性質成立,我們可能會在定義上,取一些適當的定法。
另一個比較基礎的類似問題是 : 指數律 和 指數函數系統 。
一開始 指數只有在"自然數"上有定義,定義好之後,發現有"指數律",
後來人們覺得 指數的地方,似乎可以再推廣一點,不一定要侷限於"自然數",
於是就開始推廣,但是推廣之後,當然"指數律"也要成立,才好..
不然,推廣出一個沒什麼運算法則,沒有好的性質的東西出來..
吃飽嫌著沒事幹啊...~_~
於是就得到 a^0 定成1, a^(-m) 定成 a的m次方的倒數(m屬於自然數) 這一套定義系統,
而原來的指數律也都成立。
邏輯上是這樣的,而不是
"一開始就直接蹦出 在任何實數上的整套定義系統。
然後再來看什麼性質在"正整數指數"時成立,什麼性質在"實數指數"時不成立。"
: if x^2=y^2 =/=> x=y ???
在體裡面(ex:實數,有理數,複數),(或者更一般 交換整域 comm. integral domain)
x^2=y^2 => (x+y)(x-y)=0 => x=y or x=-y.
x,y的解關係就有兩組了..
: 會問這些問題是因為做物理時在求某些方程式的解時 我常會直接說他們相等...orz
: 另外，當我們說一個數"Z"屬於複數時，直覺想到就是極座標中θ介於0~2π的區間
: 那θ在其他區間也算Z的廣義定義嗎????
討論複數時,θ 會出現...一個很大的原因是"隸美符定理"
(當然還有很多可以說的其他原因。)
至於 θ 允許 0~2π 之外的值...
這可以回到廣義三角函數的定義來看...
當初高中定義廣義三角函數的時候...就已經把整個定義域推廣到"整個實數"了..
所以θ在其他區間..已經有了意義..
因此 對任何的角度, cosθ+isinθ 也有了意義..
而將一個複數寫成 cosθ+isinθ 時,θ有無窮多的取法,
為了方便操作和討論溝通,我們把最小正同位角定義成"幅角"。
所幸的是,雖然有很多個同位角,但是在算的時候,
因為 三角函數系統的定義以及性質關係,
不管你用那一個角去算,都不會影響結果。
總而言之,就是 cosθ+isinθ 這樣的符號,不管 θ 有沒有落在 0~2π的區間,
都是有意義的,都是可以操作的..當然也是允許的..
不過,人的習慣是會把θ弄到 0~2π來操作..計算量可能比較小,
也能夠把該複數表示的比較"直覺"..
ex: 看到 cos 45度 + i sin 45度,馬上就能想像到這個複數大概在複數平面上的哪裡。
但是看到 cos 6165 度 +i sin 6165 度,就沒那麼直覺了,還要換算一下,
才意識到 其實就是 cos 45度 + i sin 45度,
再者,拿來用 "隸美符定理",算 cos 4717度 + i sin 4717度的18次方時,
如果用幅角 (37度) 來操作,只要算 37度 *18 ,然後求結果幅角,就完了。
但是如果吃飽嫌著沒事幹,直接拿 4717 *18,那就Orz了..
雖然兩個表示同一個複數,算出來的結果也都一樣,
但是可以預見的,後者的計算路線,計算量多很多。
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※ 編輯: Eeon 來自: 220.135.25.192 (04/12 11:19)