※ 引述《SMer (想去蒙古騎馬奔馳)》之銘言：
: ※ 引述《SMer (想去蒙古騎馬奔馳)》之銘言：
We first claim that if ν(A) > -oo, for every ε>0 there exists B < A
: such that ν(B) ≧ ν(A) and ν(E) > -ε for all E < B.
這個第一個不懂的地方就是下面要證的東西
: If not, there exists E_1 < A with ν(E_1) ≦ -ε.
: Since ν(A\E_1) = ν(A) - ν(E_1) ≧ ν(A), there exists E_2 < A\E_1 with
: ν(E_2) ≦ -ε. Continuing inductively, we obtain disjoint sets E_j < A
: (j in |N) with ν(E_j) ≦ -ε.
: oo oo
: But then if E = ∪ E_j we have ν(A\E) = ν(A) - Σ ν(E_j) = oo,
: j=1 j=1
: contrary to assumption. ......
用白話來說
第一步先看假如 B=A 滿不滿足他想要的條件
(ν(B) ≧ ν(A) and ν(E) > -ε for all E < B.)
假如是不行的呢, 則一定有 E_1 < A with ν(E_1) ≦ -ε.
現在 A 變成了兩部份(disjoint), 一部份是 A\E1, 一部分是 E1
但是 ν(A\E_1) = ν(A) - ν(E_1)≧ ν(A)+ε <==你寫的這邊要 + ε
所以下一步就看假如 B=A\E_1 滿不滿足他想要的條件
假如不行呢, 就有 E_2 < A with ν(E_2) ≦ -ε.
而且 ν(A\(E_1∪E_2)) = ν(A) - ν(E_1)-ν(E_2)≧ ν(A)+2ε
下一步看 A\(E1∪E_2) 滿不滿足他想要的條件
重點是, h(A\(E_1∪E_2...∪E_i)) 在這個過程裡會不斷變大變大變大.....
而且是 unbounded, (>=ν(A)+ iε)
假如一直取不到'....最後會得到一個 subset
oo
A\ ∪E_j 他會有無窮的 measure 這是違反 assumption 的
j=1
所以矛盾
至於你前篇問的問題.....那個 B 可以等於 A, 不一定會是 B 的真子集
像假如 signed measure 剛好是個 measure, Hahn decomposition of A
就是 A 跟空集合
ㄟ, 不曉得你是不是要問這個, 希望我沒誤解到
至於那個 E_j 為什麼 disjoint 是因為 E_(i+1) 是 A\(E_1∪..∪E_i)的子集
所以E_1∪..∪E_i跟 E_(i+1)當然是 disjoint
一直選下來全部就都 disjoint 了
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