※ 引述《thomson (完成度 2/5)》之銘言：
: 我有下面的想法 不知道對不對
: 一開始
: 我先定義何謂 sigma-algebra
: 然後
: Borel sigma-algebra 可以被定義成 "包含了所有 open sets in R 的 algebra"
Borel sigma-algebra 是包含所有 open set 所 induced 出來的
最小 sigma-algebra。
: 接下來
: 因為 Borel sigma-algebra 的範圍太廣
: 所以我只取 Borel sigma-algebra 和 [0,1] 的交集來探討
不對吧，Lebesgue measure 是 Borel measure 的 completion，
也就是像有理數建構出實數系那樣。這邊可以參考 Rudin 的作法，
他在 Real and Complex Analysis 就是這樣做的，在其他的書通常直接
定 Lebesuge measure。然而 Lebesgue measure 有很多性質可以看出
與 Borel 的關係，例如所有的可測集合，都是 G_δ set 聯集一個測度為零
的集合，也就是說兩者幾乎沒有什麼差異。（Littlewood's Three Principles）
: 定義在這交集之上的 measure 就被稱做 Lebesgue measure
所以 Lebesgue measurable set 比 Borel measurable set 還要多。
並不是只討論在 [0, 1] 之間。
: 然後 為了要定義 Lebesgue measure 的 distribution function
: 最後 Lebesgue 積分被引入
一開始應該不是為了 distribution function 吧，這點我並不清楚真正歷史動機，
但應該是為了克服 Riemann Integral 的一些缺點，例如函數極限與積分交換的問題。
Lebesgue measure 是為了積分所發展的，即使不用 measure 定義，
在 R^n 也可以利用 step function 做出來，也就是 Riesz method。
: 以上是我現在瞭解的關係
: ※ 引述《glenrice (爆日踢韓勦共匪 )》之銘言：
: : 用來檢測這個積分有沒有boundary嗎?
: : 還是要用在哪呢?
: : 謝謝
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