Re: [微積] 請問lebesque這個measure的作用?

[zevin (研究所要認真讀)]

※ 引述《firstshiva (敢愛敢恨真性情)》之銘言：
: 因為有些積分黎曼積分沒辦法給答案
: 例如
: 定義一個函數
: f(x) = 0 if x is irrational
:      = 1 if x is rational
: 這樣的話根據Lebesgue Theorem
: 所有不連續的點並非都是 measure zero
: (因為無理數不可數)
: 所以這個函數不能黎曼積分
: measure的目的就是為了要積這一類型的函數
: 也就是所謂的Lebesgue integral
: 我只知道大概他是怎麼積的
: 黎曼是直條圖，Lebesgue是橫條圖XD
: 但是實際上他是怎麼做的我並不清楚
: 我唸的高等微積分比較淺，看其他版友能不能給你答案
聽說過一個很巧妙的譬喻
來比較黎曼積分和Lebesgue積分的差別
想像我們把一塊五塊十塊硬幣隨意排成一列
ex:1，5，5，10，5，1，10，1，1
這些硬幣總共值多少錢呢??

黎曼積分的做法是，把它們照順序一個個加起來:
1+5+5+10+5+1+10+1+1=39

Lebesgue積分的做法是:
1塊硬幣有4個，5塊硬幣有3個，10塊硬幣有2個
1x4+5x3+10x2=39

簡單來說，兩者最主要的不同
黎曼積分是在切割x軸
Lebesgue積分是在切割y軸
在其上定義出的可積分函數也不盡相同

高微課本講的可能還不夠深入
唸過實變分析後會比較了解

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.210.1.213
推 firstshiva:對於Lebesgue Integral要深入了解，請去翻閱實變書籍
※ 編輯: zevin           來自: 218.210.1.213        (07/02 00:48)
推 meheong:黎曼可積的函數   Lebesgue未必可積哦
推 zevin:咦 我記錯了嗎? 我記得是黎曼可積的函數 Lebesgue可積
→ zevin:而且積分的答案會相同
推 zevin:阿 對 是有條件的 黎曼可積的函數還要bounded才會對 抱歉
※ 編輯: zevin           來自: 218.210.1.213        (07/02 01:13)
推 glenrice:感謝上面幾位!!你們真的太強了!
推 LimSinE:我覺得不要把瑕積分和普通的Riemann積分想成一樣...