推 cadairka:謝謝囉~XD 06/16 22:14
※ 引述《cadairka (無)》之銘言：
: 請問版上各位大大
: 因為小弟將來讀研究所想走代數數論領域
: 我知道要走代數數論的話 需要懂很多很雜的東西
: 而系上也沒開關於數論的課
: 雖然研究所曾經開過代數數論的課 但斷斷續續的
: 所以想詢問有人知道關於適合自修的代數數論方面的書籍
: 原文書或中文書都可以 (我想中文書應該不太可能有吧 =。=)
: 先謝過了~~
轉一篇給你看.
轉載 --- 一個做數論的研究生的書評
我是學數論的研究生，以前見有人發貼子，也有同學曾經問過我一些
學數論的參考書。今天謹以我個人的喜好，談談學習數論的參考書。
在此我只提：我以前曾經讀過現在正在讀著和將來十分想讀的數論參
考書目。一家之言，僅供參考！
在國內有一個不好的傾向是把數論分的太絕對化，要麼是學代數數論
的要麼是學解析數論的。聽過美國威斯康星大學楊同海教授的一個報
告，說了一句挺有意思的話：在美國都認為我是做解析數論的，而在
國內都說我是做代數數論的。其實我認為作為一個學數論的研究生，
在碩士階段，即使你是學代數數論的也應該知道 Riemann zeta-function
zero-free，學解析數論的也應該明白 adele ring, idele group,
這些都是以後進一步學習最基本的東西。如果作為一個碩士畢業的數
論研究生這些你都不知道，那只說明一種情況是你老闆不是一個合格
的導師。我一直認為一個合格的導師是不僅把自己的專業知識傳授給
學生，更重要的是告訴學生自己的學科在整個數學中的所處的地位和
作用，在和自己相關的學科中別的數學家都在做什麼工作什麼是主流
的數學什麼是核心的數學，而不是逼著學生去讀你的只能發表在某某
大學學報上的論文。我所說的書目，一類是可以做教材的一類是平時
學習的參考書。做教材的書我認為起碼要滿足三個條件：不要太厚,
不會讓人望而生畏；起點不要太高，即預備知識不要太多；要有當代
數學的內容，你不能整個一本書都是講一百多年前的數學，那是本科
生的教材!
(1) 初等數論
內容主要是數論函數和同餘性質。國內外都有很多很好的參考書的。
(2) 解析數論
H. Davenport, Multiplicative number theory, springer-verlag,
GTM74. A. A. Karatsuba（卡拉楚巴）, 解析數論基礎, 科學出版社,
有中譯本和英譯本。這兩本書都是非常適合做教材的。包含了 Riemann
zeta-function，Dirichlet L-functions, zero-free, prime number
theory, explicit formula, three prime theorems of Goldbach
conjecture, circle method... 解析數論所有的基礎知識。H. D 的
書寫的非常簡練優美可讀性很強（除去前六章,我認為！）。
另外如果你有足夠大的書架足夠高的學習熱情，你可以買本潘承洞潘
承彪的“大詞典”：解析數論基礎, 科學出版社。我覺得這本書只適
合做詞典用。
有了這兩本書的基礎，如果你想瞭解 Goldbach conjecture and Chen's
theorem, 你可以看, 潘兄弟, 歌德巴赫猜想, 科學出版社, 有英譯
本。這可能是他們合寫的一本最好的書。
如果想學習更詳細的 Reimann zeta-function 知識，你應該只看 E.
C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta function, 2/e,
Oxford Univ. Press. 這是因為在 BAMS 中 P. Sarnak 給 A. A.
Karatsuba and others, The Riemann zeta-function 寫的 book review
的最後一句很有意思的話是：
If I were limited to having just one book on my shelves
on Riemann zeta-functions, I would opt for the 1986 edition
of Titchmarsh's monograph.
最近一二十年 Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory 的研
究有很大的關係，但一般講 Reimann zeta-function 的專著中很少
講到這一點的，不過可以從網上找到一些這方面的 survey 文章來看
看的。
最近又有一本非常新非常好的講解析數論的書，那就是 H. Iwaniec/
E. Kowalski, Analytic number theory, 2004, AMS. 書比較厚當然
內容也非常多，基本上包含了當代解析數論所有的工具技巧和內容。
有了這本書上面所有的書你都可以不用讀了。
(3) 代數數論
H. P. F. Swinnerton-Dyer, A brief guide to algebraic number
theory, Camb. Univ. Press.
這是我見過的最適合做教材的一本書，一學期的課程足夠了！作者是
大名鼎鼎的 BSD conjecture 中的 SD。薄薄的一百多頁講述了 ideals,
valuations, adele, idele, special fields, Tate's thesis, L-series,
class field theory 等等. 我一向不喜歡寫的太厚的書更不喜歡寫
的太初等的書，書中沒有這兩個缺點而是很多地方充溢著作者對代數
數論獨到的精闢的見解。關於其他參考書目我建議大家看看馮克勤老
師的代數數論的一個附錄和結語，我認為這是那本書最值得看的部分
。
我比較喜歡 S. Lang, Algebraic number theory, springer-verlag,
GTM110. S. Lang是一個以寫很多書而著名的數學家，光 springer-
verlag 就好像給他出了三四十本吧！出書多了就有很多人對他寫的
書不以為然，其實就這本書來說我認為還是非常好的講了 class field
theory, analytic theory, Hecke L-functions, Artin L-functions
等等.
另外一部名著我認為是學數論的學生大都知道可能大都沒仔細讀完過
（起碼我是只仔細看過其中的 Chapter VII Zeta-functions of A-fields,
另外第二部分 class field theory 並不是我很感興趣的地方），不
用猜你知道我說的是 A. Weil, Basic Number Theory. 大數學家都
喜歡給自己的書起個不起眼的名字，A. Weil 就是這樣，其實講的東
西絕對一點都不 basic，用 simple algebras 和 group representations
的工具使用 adele ring and idele group 的語言，統一講述 global
field - number fields and functions fields 上的數論。讀這本書
之前可能需要懂點拓撲群和群表示的東東。
(4) 自守形式, 自守表示, 自守 L-函數, 郎蘭茲綱領
[1] H. Iwaniec, Topics in classical automorphic forms, AMS.
H. Iwaniec, Spectral methods of automorphic forms, AMS 2/e.
這兩本書都是從 analytic methods 出發。第一本講述了 GL(2) 上
的 holomorphic modular forms 的情況, 著重講 Kloosterman sum,
automorphic L-functions; 第二本講述了 GL(2) 上的 Maass wave
forms 的情況, 著重講 spectral theory 中的 trace formula. 從
這兩本書裏，你能看到當代解析數論的主要研究領域和主要研究方法
，這與經典的堆壘素數論 additive number theory 在內容和方法上
都有很大的差別。Kloosterman sum, trace formula 在當代解析數
論研究中起著橋樑的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道 L-
functions 的研究在 Langlands Program 中起著中心的作用，而研
究 L-functions 往往需要很強的分析方法。最後引用別人的一段話:
... we remark that over the the past three decade research
in the Langlands Program has been pursued along main lines;
via L-functions, via dual reductive (theta liftings) and
via the trace formula ... one can take the point of view
that automorphic forms are primarily of interest because
of concrete analytic information they give us classical
problem. In the optic, functoriality is a tool rather
than an end in itself, and a wide range of other methods
from analytic number theory play an equally important role...
[2] Automorphic forms, Automorphic representations, Langlands
Program
關於偉大的 Langlands Program, 最原始也可能是最好的參考書是偉
大的 H. Jacquet 和偉大的 R. P. Langlands 寫的偉大的 Automorphic
Forms on GL(2), LNM 114（可在 Langlands 主頁上免費下載）. 當
然這本書對初學者來說也是比較難讀的，需要掌握很多預備知識。
S. Gelbert, Automorphic Forms on Adele Groups（Princeton 出
版的一套紅皮書）應該是一本非常好的參考書儘管出版於 1975 年。
勵建書老師曾在一個 summer school 給同學們推薦過這本書.但是我
翻過感覺寫的有點亂，不像一般的書，將這方面的理論分成 local
theory 和 global theory，一目了然！
還有一本不錯的書是 R. Godement（法國人，Jacquet 的博士生導師
）寫過一個比較薄的講義 Note's on Jacquet-Langlands' theory.
書中主要是把 LNM114 的重點內容講了一邊，比 LNM114 好讀多了，
就像在 perface 中作者說的那樣，書名其實也可以叫做 Jacquet-
Langlands' theory made easy！這本書的缺點就是一般的圖書館都
找不到，好像沒有出版？只是一個內部講義！筆者最初就是從這本書
學起的，一位非常認真的老師給仔細講過。
可能很多人喜歡看, D. Bump, Automorphic forms and representations
當然這是一本非常好的參考書。書裏主要講了 local and global theory
(Jacquet-Langlands' theory) for GL_2 和 Rankin-Selberg Method，
“… but it less tightly organized and considerably longer
(574 pages) … ”Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi
method 當然是研究 automorphic L-functions 的重要的解析方法。
Rankin-Selberg method 也是 Bump 所擅長所偏愛的部分，書中就寫
的比較多。內容有點偏 (勵建書語, 呵呵)
另外著名的書就是 A. Borel/W. Casselman, Automorphic forms,
Representations, L-functions, PSPM vol. 33 (AMS 上可免費下載
）。這是一個會議論文集，都出自大家之手，當然也是非常全面非常
厚的。這本書可能是做這方面的數學家人手一冊的必備參考書，讓 AMS
賺足了錢，後來就索性貼到網頁上 online。一位老師告訴我這是一
輩子都有用的書. 當然，初學者不可能也沒必要從頭讀到尾，揀你喜
歡感興趣的看就行了。
還有兩本非常新也是非常好的書 J. Bernstein/S. Gelbart, An Introduction
to Langlands Program. 這也是一個會議論文集，但不太厚，作者都
是這方面的專家的，重要的是從最基本的基礎講起，也不需要太多的
基礎知識就能看的懂的.
J. W. Cogell/H. H. Kim/M. R. Murty, Lectures on automorphic
L-functions. 書中分了三部分分別講述了 Rankin-Selberg method
and converse theorem, Langlands-Shahidi method 和 applications
of symmetric power L-functions to analytic number theory. 三
人都是這方面的專家。看看下面的介紹你就知道是一本非常好的書:
This book provides a comprehensive account of the crucial
role automorphic L-functions play in number theory and in
the Langlands program, especially the Langlands functoriality
conjecture. There has been a recent major development in
the Langlands functoriality conjecture by the use of
automorphic L-functions, namely, by combining converse
theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-
Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction
to these developments and explains how the Langlands
functoriality conjecture implies solutions to several
outstanding conjectures in number theory, such as the
Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin's
conjecture. It would be ideal for an introductory course
in the Langlands program.
中文書可以看: 黎景輝, 二階矩陣群的表示和自守形式, 北京大學出
版社。書中的內容偏少些，重要的 automorphic L-functions 基本
上沒講，但無論如何是一本不錯的參考書。
還有一本不錯的中文書是: 李文卿, 數論及其應用, 北京大學出版社.
書中也是統一處理數域和函數域的，前幾章講當代解析數論的基礎內
容，第七章講的是 classical 的模形式，第八章 automorphic forms
相當把 LNM114 簡要的敘述了一遍。
(5) 算術代數幾何
arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年數論和代數幾何相
結合發展起來的一門學科, 由 P. Deligne，G. Faltings，A. Wiles
最近二三十年的工作，顯的尤其重要，也可能是在國外數論最熱的方
向。需要較多的預備知識，起碼你要知道點代數數論（integers ring,
discriminant and ramification, ideal class group）;交換代數
(Dedekind domains, discrete valuation rings) ; 代數幾何 (affine
and projective curves, scheme theory, Riemann-Roch theorm).
我見過的這方面的書比較少，有一本是 D. Lorenzini, An Invitation
to Arithmetic Geometry, GSM9, AMS，這本書的優點是你不知道上
面的內容也沒關係，從頭開始，最後證明了 Riemann Hypothesis for
curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用 Riemann-Roch
Theorem 給出的證明方法，可能對於要做這個方向的碩士生來說還是
有點太簡單吧。
另一本書 IAS/PARK CITY vol 9, Arithmetic Algebraic Geometry,
是 AMS 組織的 summer school 的講義，總要講了 Elliptic curves,
open questions in arithmetic algebraic geometry, Galois representations,
Serre's Conjectures, modular forms，這本書可能會只使你對這個
方向有個大致的瞭解吧！
GTM 201, Diophantine Geometry, spring-verlag 也應該是這方面
的不錯的書，但內容和難度都比上面兩本書高一個層次的。
如果真要從事 arithmetic algebraic geometry 這個方向的研究，
個人認為 A. Grothendieck 同學搞的那些抽象的像天書一樣東東早
晚還是需要拿來仔細讀的，但是厚厚的幾大本有點 bt 的 EGA，SGA
是不是都要仔細讀呢（三年未必能看完）？可能也是個仁者見仁智者
見智的問題！筆者當然沒有看過任何一本。
--
____ _ _ _ ____ _
| _ \ _ _ __| | __| |(_)___ _ __| _ \(_)_ __ __ _ ▃▅██▆▄
| |_) | | | |/ _` |/ _ | | _ \ / _ | |_) | | _ \ / _ | ● ●
| __/| |_| | (_| | (_| | | | | | (_| | _ <| | | | | (_| | ◢ ▽ ◥
|_| \__ _|\__ _|\__ _|_|_| |_|\__ |_| \_\_|_| |_|\__ _|▇▇▆▅▆▅▆▇█
|___/ |
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.227.219