◇ Re: 親和數！
作者: JOELIN (JOELIN) 看板: His-Peda
標題: Re: 親和數！
時間: Fri Jan 2 13:21:12 1998
※ 引述《Ryu (我祈求)》之銘言：
: 那這個親和數有沒有一定的解法呢?
: 有點好奇...
要如何尋找親和數，這就要提到阿拉伯人了。比尤拉早約600年，也就是在西元九世紀，
阿拉伯數學家Thabit ibn-Qurra發現了一個尋找親和數的方法，不過，或許是計算工具
發展尚不成熟的緣故，或是其他的因素，使得Thabit ibn-Qurra只用自己的方法驗證了
第一對親和數！現將其方法寫在下面：
對每一個正整數n，令p(n)=3*2^n-1，q(n)=9*2^(2n-1)-1，若有一個正整
數n，使得p(n)、p(n-1)、q(n)三個都是質數，則2^n*p(n-1)*p(n)與2^n*q(n)是一
對親和數。
【證明】因為2^n、p(n)、p(n-1)兩兩互質，且2^n與q(n)，
所以2^n*p(n-1)*p(n)的正因數和
(2^(n+1)-1)(3*2^(n-1))(3*2^n)=9*(2^(2n-1))*(2^(n+1)-1)
2^n*q(n)的正因數和
(2^(n+1)-1)(9*2^(2n-1))=9*(2^(2n-1))*(2n+1-1)
又2^n*p(n-1)*p(n)+2^n*q(n)=2^n*(p(n-1)*p(n)+q(n))
=9*(2^(2n-1))*(2^(n+1)-1)
故2^n*p(n-1)p(n)與2^n*q(n)是一對親和數……………….證畢！
大家可以仔細比較尤拉的例子看看，便會發現並不是每一對親和數都會符合Thabit
ibn-Qurra的形式。而事實上，現在已知的親和數已有數百對，只不過是尚不知道是否
有無限多對的親和數！
附注：關於證明的部分，可以參看趙文敏老師的數論淺談p108！
國立台灣師範大學數學系
87級乙班 林倉億
email：s40054@cc.ntnu.edu.tw
※ Origin: 師大數學系 ◆ From: 140.122.209.79
--
寵辱不驚 看花開花落
去留隨意 任雲捲雲疏
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.twbbs.org)
◆ From: t199-138.dialup