◇ Re: 完全數！
作者: JOELIN (JOELIN) 看板: His-Peda
標題: Re: 完全數！
時間: Sat Jan 3 06:28:10 1998
歐幾里得發現(只有希臘神才知道他是怎樣發現的)這四個完全數都是由公式
[2^(n-1)]*[(2^n)-1]在n=2，3，5，7時產生的：
n=2 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=2*3=6
n=3 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=4*7=28
n=5 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=16*31=496
n=7 [2^(n-1)]*[(2^n)-1]=64*127=8128
歐幾里得更發現一個重要的事實，他將之寫成一個定理，這也就是在幾何原
本第九卷的最後一個定理：
公式[2^(n-1)]*[(2^n)-1]中，每當[(2^n)-1]是個質數的時候，就產生一個偶數
的完全數。
ꄠ 【證明】若[(2^n)-1]是一個質數，設為p
則令m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]=[(2^n)-1]*p
這樣m的因子為
1，2，2^2，…..，(2^n)-1，p，2p，(2^2)p，…..，[2^(n-1)]p
所以m的因數和為
[(2^n)-1]+p[(2^n)-1]= [(2^n)-1]*(1+p)
= [(2^n)-1]*(1+(2^n)-1)
= (2^n)*((2^n)-1)
= 2m
所以m的真因數和為2m-m=m
故得證！
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國立台灣師範大學數學系
87級乙班 林倉億
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