Re: [轉錄]完全數

[stronglin (八不亞心幾內亞)]

◇ Re: 完全數！


作者: JOELIN (JOELIN) 看板: His-Peda
標題: Re: 完全數！
時間: Sat Jan  3 06:43:39 1998

過了約兩千年後，瑞士的偉大數學家尤拉證明了這個定理的逆敘述亦成立，即

若ｍ是個偶完全數，則ｍ=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，其中(2^n)-1是質數。

【證明】    令s(m)表為m的所有正因數的和。
            因為m為偶數，
            所以找得到一個正整數n>=2使得(2^n)-1整除m，但2^n不
            整除m，
            於是可設m=[2^(n-1)]*a，a為奇數，
            (2^n)*a =2m= s(m)= s([2^(n-1)])*s(a)=[(2^n)-1]*s(a)
            (2^n)*a =[(2^n)-1]*s(a)
            因為2^n與(2^n)-1互質，
            所以2^n整除s(a)，令s(a)= (2^n)*b，
            a=[2^(n-1)]*b
            若b&gt1，則a至少有三個正因數：1，b，a，
            則s(a)>=1+b+a=1+b+[2^(n-1)]*b=(2^n)*b+1，
            此與s(a) =(2^n)*b矛盾！
            故b=1，所以a=[2^(n-1)]*b，又因為s(a)=1+a，
            所以a為一質數，
            因此m=[2^(n-1)]*[(2^n)-1]，且(2^n)-1為質數。…………證畢！


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國立台灣師範大學數學系

   87級乙班      林倉億

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