◇ Re: 完全數！
作者: JOELIN (JOELIN) 看板: His-Peda
標題: Re: 完全數！
時間: Sat Jan 3 07:03:02 1998
現在我們將歐幾里得和尤拉的結果寫成下面的定理：
設m是個偶數，則m是完全數的充要條件是存在一個質數p
使得(2^p)-1是質數，且m=[2^(p-1)]*[(2^p)-1]
這個定理告訴了我們如何去尋找這誘人的完全數，我們將(2^p)-1這個
數稱為梅聖尼數，而已知的梅聖尼質數只有30個，所以已知的偶完全數
只有30個：
序數 完全數 位數
1 2*(2^2-1)=6 1
2 2^2*(2^3-1)=28 2
3 2^4*(2^5-1)=496 3
4 2^6*(2^7-1)=8128 4
5 2^12*(2^13-1)=33,550,336 8
6 2^16*(2^17-1)=8,589,869,056 10
7 2^18*(2^19-1)=137,438,691,328 12
8 2^30*(2^31-1) 19
9 2^60*(2^61-1) 37
10 2^88*(2^89-1) 54
11 2^106*(2^107-1) 65
12 2^126*(2^127-1) 77
13 2^520*(2^521-1) 314
14 2^606*(2^607-1) 366
15 2^1278*(2^1279-1) 770
16 2^2202*(2^2203-1) 1,327
17 2^2280*(2^2281-1) 1,373
18 2^3216*(2^3217-1) 1,937
19 2^4252*(2^4253-1) 2,561
20 2^4422*(2^4423-1) 2,663
21 2^9688*(2^9689-1) 5,834
22 2^9940*(2^9941-1) 5,985
23 2^11,212*(2^11,213-1) 6,751
24 2^19,936*(2^19,937-1) 12,003
25 2^21,700*(2^21,701-1) 13,066
26 2^23,208*(2^23,209-1) 13,973
27 2^44,498*(2^44,497-1) 26,790
28 2^86,242*(2^86,243-1) 51,924
29 2^132,048*(2^132,049-1) 79,502
30 2^216,090*(2^216,091-1) 130,100
前24個完美數是在1975年以前發現的，其中最後一個是2^19936*(2^19937－1)，
這是在1971年發現的，而這24個中有一半是在1952年以後發現的；而第30個完全
數是在1986年9月被發現的！
由上我們可以看出古希臘人的第二個猜測(第五個完全數一定是五位數，以此類
推！)是錯的！不過關於第一個猜測（所有的完全數的末位數量都是6或8，甚至
是輪流出現的！）雖並不完全正確(因為6和8並未輪流出現)，不過，他們似乎
猜對了一件事，只要是偶完全數，個位數不是6就是8！為什麼呢？這是根據下面的定理：
對於任意的正整數n，令an=22n(22n+1-1)，則
(1) 若n是偶數，則an的個位數是6且十位數是奇數；
(2) 若n是奇數，則an的個位數是8且十位數是2；
ꄠ 【證明】留給有興趣的人自己證明！！
細心的讀者一定會發現：目前已知的完全數都是偶數，那有沒有奇完全數呢？
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國立台灣師範大學數學系
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