※ 引述《Ace (煙屎)》之銘言：
: ln k
: sigma ----- please show me the sequence converges or diverges. thank u!!
: k^5/4
收斂.這次採用牛刀法解決. 首先, 來複習一下 log 的性質吧.
因此有 ln(k) ≦ log_2(k), 接著, log_2(k) ≦ k^(1/8),
這為什麼呢? 令 y = k^(1/8), k = y^8,
要證明的東西就改成 log_2(y^8) ≦ y, 也就是 8 log_2(y) ≦ y.
也就是要證明 y ≦ 2^(y/8). 當 y≧64 時, 也就是 k≧64^8 時,
這個式子 y ≦ 2^(y/8) 是成立的, 也就是 ln(k) ≦ k^(1/8) 會成立.
(上面的用微積分做也行)
oo 64^8-1 oo
因此 Σ = Σ + Σ , Σ裡面東西太多就不寫了.
k=1 k=1 k=64^8
黃色的畢竟是有限個,所以這部分是收斂的.
oo
紅色的永遠比 Σ 1/k^(9/8) 小, 這個級數剛好是收斂的, (就是比較審斂法)
k=1
因此合起來就是收斂的.
沒有比這個還要牛刀的吧
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∞
3.30 Definition e = Σ 1/n!
n=0
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