→ dognose:遵命(雖然看不懂你到底是要命什麼) 推 61.216.48.243 03/22
※ 引述《Ace (煙屎)》之銘言：
: ※ 引述《plover (+oo)》之銘言：
: : 收斂.這次採用牛刀法解決. 首先, 來複習一下 log 的性質吧.
: : 因此有 ln(k) ≦ log_2(k), 接著, log_2(k) ≦ k^(1/8),
: : 這為什麼呢? 令 y = k^(1/8), k = y^8,
: : 要證明的東西就改成 log_2(y^8) ≦ y, 也就是 8 log_2(y) ≦ y.
: : 也就是要證明 y ≦ 2^(y/8). 當 y≧64 時, 也就是 k≧64^8 時,
: : 這個式子 y ≦ 2^(y/8) 是成立的, 也就是 ln(k) ≦ k^(1/8) 會成立.
: : (上面的用微積分做也行)
: : oo 64^8-1 oo
: : 因此 Σ = Σ + Σ , Σ裡面東西太多就不寫了.
: : k=1 k=1 k=64^8
: : 黃色的畢竟是有限個,所以這部分是收斂的.
: : oo
: : 紅色的永遠比 Σ 1/k^(9/8) 小, 這個級數剛好是收斂的, (就是比較審斂法)
: : k=1
: : 因此合起來就是收斂的.
: : 沒有比這個還要牛刀的吧
: 請問有沒有更簡單的方法 例如:limit comparison test or ratio test
: 根據這題在課本的所在 應該是有較簡單的方法 thank you!!
上面的只要會 p-series 和簡單的代數就可以了, 只是寫的很長,
故意賺點 Ptt 幣而已. 那這邊提供一個 ratio comparsion test 的做法,
Let a_n = log(n)/n^(5/4), b_n = 1/n^(9/8)
lim |a_n|/b_n = lim log(n)/n^(1/8)
n->oo n->oo
(*) 1/x
又 lim log(x)/x^(1/8) ===== lim ----------------
x->oo x->oo 1/8 * x^(-7/8)
= lim 8/x^(1/8) = 0 < +oo.
x->oo
因為 Σb_n 收斂, (p-series, 且 p=9/8 < 1), 因此 Σa_n 收斂.
Note:
(1) (*)是 oo/oo形的 L'Hopital's rule, 要用之前, f(x) 至少不能是不連續的,
因此, 之前有同學說直接用 L'Hopital's rule, 這是不對的, a_n 要怎麼微分捏?
不過倒是有個離散型的 L'Hopital's rule, 想知道的就推一篇 XD
(2) 題外話, 個人覺得要證這個 rule 並不簡單,
要證明 ratio comparsion test 也不簡單, 至少要很清楚 limit 的定義
(3) 有人也寫 L'Hospital's rule, 像是 Rudin 那本
Principles of Mathematical Analysis, 而我少一個 s 的也是有根據的,
像是 Marsden&Hoffman, Elementary Classical Analysis 及
Protter&Morrey 的 A First Course in Real Analysis)
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∞
3.30 Definition e = Σ 1/n!
n=0
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