Re: [微積] 關於dx^n/dx的證明

[lavifoxbat (花次郎)]

※ 引述《pobm (氣吞萬里如虎)》之銘言：
: 我看到的都是用二項式定理證明
: 可是f(x)=x^n
: 當n為一個有理數
: f'(x)依然=n(x^n-1)
: 所以這代表二項式定理可以延伸到指數是有理數時囉
: 不知道有沒有大大能給出二項式定理的證明(當指數是有理數時也成立)
: 謝謝
: ^^

1.由e的定義可以得到 de^x/dx = e^x

2.接著由反函數微分及連鎖率得到
   1 = dx/dx = d{ln(e^x)}/dx = (d{ln(e^x)}/de^x)*de^x/dx
  令 y = e^x, 則 d(lny)/dy = 1/y

3.dx^n/dx = d{e^ln(x^a)}/dx, 用連鎖率
          = {e^ln(x^a)}*d{ln(x^a)}/dx
          = (x^a)*d(a*lnx)/dx
          = (x^a)*a*(1/x)
          = a*x^(a-1)

 Done.

括號有點多,自己在紙上導一次吧,重點是把指數函數用 e 和 ln 表示出來,
接著用連鎖率.

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→ lavifoxbat:用這種方法,a可以是一般的非零實數