※ 引述《babybody (酸酸甜甜好滋味..呼~~)》之銘言：
: E: a,b,c,d 為互異的自然數,試証:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)恆為12的倍數
: pf:
其實可以用猜的
先考慮證3的倍數
a,b,c,d不外乎有3k,3k+1,3k+2 的可能
case1:
a,b,c,d皆為3k型
則a-b,b-a,....c-d全為3的倍數
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為3的倍數
另外a,b,c,d全為3k+1,3k+2型證法一樣
case2:
a,b,c,d 其中有二個是3k,另兩個是3k+1,3k+2
不失一般性可假設a,b是3k型,c是3k+1型,d是3k+2型
顯然a-b為3的倍數
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為3的倍數
另外a,b,c,d 其中有二個是3k+1,另兩個是3k,3k+2
a,b,c,d 其中有二個是3k+2,另兩個是3k,3k+1 證法一樣
case3
a,b,c,d 其中兩個為3k型, 令兩個為3k+1型
不失一般性可假設a,b是3k型,c.d是3k+1型
則a-b 及c-d為3的倍數
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為3的倍數
另外a,b,c,d其中兩個為3k型, 令兩個為3k+2型
a,b,c,d其中兩個為3+1k型, 令兩個為3k+2型 證法一樣
第二個證(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
case1
全奇數
則a-b,b-c,....c-d全為偶
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
case2
全偶數
則a-b,b-c,....c-d全為偶
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
case3
三奇數 一偶數
不失一般性假設a.b.c是奇數 d是偶數
則a-b,a-c,b-c 為偶
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
case4
三偶數 一奇數
不失一般性假設a.b.c是偶數 d是奇數
則a-b,a-c,b-c 為偶
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
case5
二奇數 二偶數
不失一般性假設a.b.是偶數 c.d是奇數
則a-b,c-d為偶數
故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為4的倍數
綜合以上兩個結論可知故(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)為12的倍數
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