作者head109 (Miss You～)
看板Math
標題Re: [微積] sinx/x的積分
時間Thu Jan 17 13:23:58 2008
※ 引述《bluecha (愛恰恰)》之銘言：
: 請問一下各位板大
: 除了把他展開去做之外
: 還有其他的解法嗎
: 今天我在一本書上
: ∫sinx/x dx
: 他將∫1/x dx 換掉
: 換成∫e^-xt dt
: 變成了一個雙重積分
: 我有點不記得了 上面這邊是憑印象打出來
: 有哪位板友知道嗎
: 微積分課本是不是沒有醬的解法阿
: 上網查了一下 這應該是費曼想到的解法
: 有人知道嗎 感激
上下限給它0~∞
∞ sinx ∞ sint
∫ ─── dx = ∫ ───dt (為了laplace transform習慣上用t變數)
0 x 0 t
sint | ∞ 1 |
= L{───}| = ∫ ─── ds|
t |s=0 s s^2 +1 |s=0
|∞ π π
=arctans| = ─-arctan0 = ─
|0 2 2
以上為laplace transform method
e^iz
考慮一圍線積分∮──dz
z
如圖
http://jan16c.imghost.us/eAdT.jpg
e^iz
∮── dz 在C內(兩個半圓弧的區域)無奇點
z
e^iz e^iz ∞ e^iz e^iz
so lim∮──dz =lim ∫ ── dz + ∫ ──dz + lim ∫ ──dz = 0 ...(A)
R→∞ z R→∞外 z -∞ z R→∞ 內 z
ρ→0 ρ→0 ρ→0
e^iz
f(z)= ──
z
等號右邊第一項(外圈積分R→∞)必為0
第三項z=0為其single pole，Resf(0)=1
e^iz
so lim ∫──dz=-πiResf(0)=-πi
R→∞ z
ρ→0
(π為半徑為ρ的圓弧所夾的圓心角，順時鐘所以取負)
以上代回(A)
∞ e^iz
0+∫ ── dz -πi = 0
-∞ z
∞ e^iz
∫ ──dz = πi
-∞ z
∞ sinx 1 ∞ sinx 1 ∞ e^ix π
so ∫ ───dx = ─ ∫ ───dx = ─Im∫ ──dx = ──
0 x 2 -∞ x 2 -∞ x 2
以上為複變解法
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◆ From: 218.169.20.33
→ conanhide:除此之外還有很多解法 傅立葉也可以 01/17 14:48
→ conanhide:還有什麼虛擬變數法（很像拉普拉斯） 01/17 14:48
※ 編輯: head109 來自: 218.169.27.152 (01/18 00:35)
推 bluecha:感謝大家 01/18 01:45
推 Frobenius:353 m 1 2/18 gary27 R: [問題]積分 sinx / x... 01/18 06:05
→ Frobenius:354 m 2/18 akrsw R: [問題]積分 sinx / x... 01/18 06:06
→ Frobenius:355 m 2 2/18 CCWck R: [問題]積分 sinx / x... 01/18 06:06
推 Frobenius:三種方法照順序分別是 Laplace法、Fubini法、Fourier法 01/18 06:10
