想說直接問概念比較快,我只有學和念到Gauss-Bonnet定理而已(很久以前)
請教一下各位大大有關Riemann curvature和Ricci curvature的問題
1.在古典的微分幾何,我知道Riemann curvature的推導至少有二種
第一個是用協變微分來算這一點我很容易理解,因為協變微分是對一個彎曲的物體
算一個空間的曲率必須是要繞一個封閉的路徑才能求Riemann curvature 出來
所以就是 Α 走一圈的變化率
μ
Α = Α － Γ Α
μ;ν μ,ν μν σ
二次協變微分當然就是一直照定義做了再相減可以得到Riemann curvature
α
Α － Α ＝ Α Ｒ
μ;ν;σ μ;σ;ν α μνσ
Ｒ有點複雜不打了,R是curvature tensor
這是我在物理書上看到的方法
但是我們在微分幾何的課有學到一個很類似的方法
Gauss公式 ｋ ｋ
→ ^ →
ｒ ＝Γ +ｂ ｎ 其中 ｒ 表示對ij微分
ij ij ij ij
Γ:Christoffel符號 ｂ:second fundamental form係數
Weingarten公式
^ ｌｋ →
ｎ ＝－ｂ ｇ ｒ ｒ表示對k微分
j jｌ ｋ k
我們知道陳省身大師說到微分幾何裡面看到方程沒事兒就要給他微一微,
所以微分幾何就是一直微分呀XDD
→ →
然後再微分一次相減 ｒ － ｒ 這過程和結果懶得打了
ijk ijk
就可以得到著名的Gauss-Codazzi方程,
就是first fundamental form和second fundamental form 的
係數 g_ij和 b_ij所滿足的曲面基本方程
這裡面Gauss方程式會自動emerge Riemann curvature出來
我們知道first fundamental form 和second fundamental form也可以知道曲面的形狀
請問一下這二件事情為何是一樣的?
2.什麼是Ricci tensor???
λν
為何Ricci tensor定義是對curvature tensor作contraction
λν ν
ｇ Ｒ ＝Ｒ ＝ Ｒ
λμνρ μνρ μρ
他的幾何意義為何?
3.Gauss-Bonnet定理曲線必須是在geodesic線上才能做嗎?
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they are two aspects of a world.
John Wheeler
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