推 math1209:thx, I see. 我把他的話分兩段看了 XD 03/05 00:19
※ 引述《math1209 (ww)》之銘言：
: ※ 引述《Babbage (驕傲體現於健忘)》之銘言：
: : closed:d一次看是不是零就知道了
: : exact:假設是的話,ω=df.
: : 在單位圓上積分會得到零,
: : 但是另一方面,換成極座標,ω=dθ,
: : ∫dθ=2π非零,
: : 矛盾.
: : 故不存在f,也就是說,ω不是exact.
: : (要注意的是,雖然ω可以寫成dθ,但θ並非well-defined的函數,
: : 所以不能因此說ω是exact)
: 對於 closed, 我沒異議。對於 exact, 我看了一下 Rudin 書上的定義，我覺得似乎不
: 應該這樣解釋 !?
Babbage 的解釋應該沒問題, 在 From Calculus to Cohomology 這本書中第一個例子
就是用這方式證明，假設有 ω = dφ 這件事情，而我們知道∫dφ = ∫φ
M dM
在這個例子換成極座標 M 是單位圓，取邊界後為 {+p, -p}，故積分為 φ(p)-φ(p) = 0
p 為單位圓上任意的點，反正封閉曲線取邊界哪點都一樣 ...
然而直接計算的結果則得到 2π，故矛盾。
: 關於 ω is not exact on |R^2 \{0}, 這應該是來自：若 ω 為 exact on |R^2\{0},
: 則沿著任何封閉曲線之線積分為 0. 當單位圓上時，線積分是 2π. 並不是 0.
: 事實上，只要任何封閉曲線包含 0 點，則其線積分必為 2π.(聽說與 homotopy 有關).
: 至於 ω＝dθ＝d arctan (x/y), 這 arctan (x/y) 並沒有辦法在 |R^2 \{0} 存在使
: ω ＝ d arctan (x/y). 因此，無法由此說明 ω 是 exact.
: 事實上，ω＝dθ, 這告訴我們沿著曲線(逆時針)之角度變化量。既然繞了一圈，那肯
: 定是 2π.(這與 winding number 有關).
: Ｑ: 我這樣解釋對嗎?
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好久沒摸這些東西了 @"@
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